Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Следствие 1. В условиях теоремы операторы A
−1
n
= (P
n
A)
−1
(n > n
0
, P
n
∈ P
(2)
n
) ограничены по норме в совокупности:
kA
−1
n
k = O (1), A
−1
n
: Y
n
−→ X
n
, Y
n
⊂ W
1
2
, X
n
⊂ L
2
.
Следствие 2. Если функции y(s) и R(x
∗
; s) ∈ W
r+1
H
α
, то при-
ближенные решения сходятся в среднем ( при r + α > 0 ) и равно-
мерно (при r + α > 1/2) со скоростями соответственно
kx
∗
− x
∗
n
k
2
= O (n
−r−α
); kx
∗
− x
∗
n
k
∞
= O (n
−r−α+
1
2
).
Доказательство. Поскольку kP
n
k = O (1), P
n
: C
2π
−→ L
2
, то
P
n
→
e
E сильно, где
e
E – оператор вложения C
2π
в L
2
, причем
kψ − P
n
ψk
2
6 k
e
E − P
n
k
∞→2
· E
T
n
(ψ)
∞
6
6 2 kP
n
k
∞→2
· E
T
n
(ψ)
∞
= O
©
E
T
n
(ψ)
∞
ª
, P
n
∈ P
(2)
n
, ψ ∈ C
2π
. (5.17)
Покажем, что при n → ∞ операторы P
n
→ E сильно, где E – оператор
вложения пространства C
1
2π
в W
1
2
, причем
kψ − P
n
ψk
1;2
6 (1 + π kP
n
k
∞→2
) E
T
n
(ψ
0
)
∞
= O
©
E
T
n
(ψ
0
)
∞
ª
, (5.18)
где ψ ∈ C
1
2π
, P
n
∈ P
(2)
n
.
Действительно, с помощью результатов (и обозначений) раздела
1.4 для любых ψ ∈ C
1
2π
и P
n
∈ P
(2)
n
последовательно находим
kψ − P
n
ψk
1;2
= kψ − P
n
ψk
2
+
°
°
°
°
d
ds
[(ψ − Φ
n
ψ) + Φ
n
(ψ − P
n
ψ)]
°
°
°
°
2
6
6 kψ −P
n
ψk
2
+E
T
n
(ψ
0
)
2
+nkψ −P
n
ψk
2
6 (1+n) k
e
E −P
n
k
∞→2
·E
T
n
(ψ)
∞
+
+E
T
n
(ψ
0
)
2
6
π
2
k
e
E − P
n
k
∞→2
· E
T
n
(ψ
0
)
∞
+ E
T
n
(ψ
0
)
∞
6
6 (1 + π kP
n
k
∞→2
) E
T
n
(ψ
0
)
∞
= O {E
T
n
(ψ
0
)
∞
}. (5.18
0
)
Из (5.18) следует, что операторы P
n
: C
1
2π
−→ W
1
2
ограничены по норме
в совокупности, точнее
kP
n
k
C
1
2π
→W
1
2
6 2 + π kP
n
k
C
2π
→L
2
6 (2 + π) kP
n
k
C
2π
→L
2
= O (1). (5.19)
Поскольку P
n
→ E сильно, а R : L
2
−→ C
1
2π
– вполне непрерыв-
ный оператор, то операторы P
n
R → R равномерно, т.е.
ε
n
6 ε
00
n
≡ kR−P
n
Rk → 0, n → ∞; R−P
n
R : L
2
−→ W
1
2
, P
n
∈ P
(2)
n
.
(5.20)
78
    Следствие 1. В условиях теоремы операторы A−1     n = (Pn A)
                                                                −1
                (2)
(n > n0 , Pn ∈ Pn ) ограничены по норме в совокупности:
       kA−1
         n k = O (1),           A−1
                                 n : Yn −→ Xn ,     Yn ⊂ W21 , Xn ⊂ L2 .

    Следствие 2. Если функции y(s) и R(x∗ ; s) ∈ W r+1 H α , то при-
ближенные решения сходятся в среднем ( при r + α > 0 ) и равно-
мерно (при r + α > 1/2) со скоростями соответственно
                                                                     1
         kx∗ − x∗n k2 = O (n−r−α );       kx∗ − x∗n k∞ = O (n−r−α+ 2 ).

    Доказательство. Поскольку kPn k = O (1), Pn : C2π −→ L2 , то
     e сильно, где E
Pn → E             e – оператор вложения C2π в L2 , причем
                                e − Pn k
                 kψ − Pn ψk2 6 kE            · EnT (ψ)∞ 6
                                         ∞→2
                              ©        ª
  6 2 kPn k∞→2 · EnT (ψ)∞ = O EnT (ψ)∞ , Pn ∈ Pn(2) , ψ ∈ C2π . (5.17)
Покажем, что при n → ∞ операторы Pn → E сильно, где E – оператор
                           1
вложения пространства C2π    в W21 , причем
                                                    ©           ª
   kψ − Pn ψk1;2 6 (1 + π kPn k∞→2 ) EnT (ψ 0 )∞ = O EnT (ψ 0 )∞ , (5.18)
           1              (2)
где ψ ∈ C2π  , Pn ∈ Pn .
     Действительно, с помощью результатов (и обозначений) раздела
                      1           (2)
1.4 для любых ψ ∈ C2π   и Pn ∈ Pn последовательно находим
                                 °                                  °
                                 ° d                                °
   kψ − Pn ψk1;2 = kψ − Pn ψk2 + °
                                 ° ds [(ψ − Φn ψ) + Φ n (ψ − P n ψ)]° 6
                                                                    °
                                                                      2

                                                e −Pn k
6 kψ −Pn ψk2 +EnT (ψ 0 )2 +nkψ −Pn ψk2 6 (1+n) kE           ·EnT (ψ)∞ +
                                                        ∞→2


                           π e
             +EnT (ψ 0 )2 6  kE − Pn k∞→2 · EnT (ψ 0 )∞ + EnT (ψ 0 )∞ 6
                           2
                  6 (1 + π kPn k∞→2 ) EnT (ψ 0 )∞ = O {EnT (ψ 0 )∞ }.      (5.180 )
                                       1
Из (5.18) следует, что операторы Pn : C2π −→ W21 ограничены по норме
в совокупности, точнее
  kPn kC 1    1   6 2 + π kPn kC2π →L2 6 (2 + π) kPn kC2π →L2 = O (1).     (5.19)
         2π →W2

                                            1
    Поскольку Pn → E сильно, а R : L2 −→ C2π  – вполне непрерыв-
ный оператор, то операторы Pn R → R равномерно, т.е.
εn 6 ε00n ≡ kR−Pn Rk → 0, n → ∞;              R−Pn R : L2 −→ W21 , Pn ∈ Pn(2) .
                                                                       (5.20)

                                         78

Страницы