Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 81 стр.

поэтому справедлива оценка
                       ©                          ª
   kAn − An kXn →Yn = O EnT σ (h)2 + EnT σ (h0s )2 ,    Pn ∈ Pn(1) .   (5.25)
Если же h0s (s, σ) ∈ C[0, 2π]2 , то в силу (5.24) с помощью теоремы 5.2
                                             (2)
находим аналогичную оценку при Pn ∈ Pn :
                          ©                        ª
  kAn − An kXn →Yn = O EnT σ (h)∞ + EnT σ (h0s )∞ , Pn ∈ Pn(2) . (5.26)
      С помощью (5.24) – (5.26) из теорем 5.1 и 5.2 выводится
     Теорема 5.3. Пусть в условиях теоремы 5.1 (соответствен-
но теоремы 5.2) существует производная h0s (s, σ) ∈ L2 [0, 2π]2 (соот-
ветственно ∃ h0s (s, σ) ∈ C[0, 2π]2 ) и выполнено условие (5.23) 1) .
Если с.и.у. (5.1) однозначно разрешимо в L2 при любой y ∈ W21 , то
при всех n, начиная с некоторого, уравнение (5.22) также имеет
                                                        (1)
единственное решение x̄∗n = A−1  n Pn y, где Pn ∈ Pn (соответственно
        (2)
Pn ∈ Pn ). Приближенные решения сходятся к точному решению
x∗ ∈ L2 в среднем со скоростью
                         ©                                        ª
        kx∗ − x̄∗n k2 = O EnT (x∗ )2 + EnT σ (h)2 + EnT σ (h0s )2   (5.27)
в условиях теоремы 5.1, а в условиях теоремы 5.2 – со скоростью
                       ©                                       ª
      kx∗ − x̄∗n k2 = O EnT (x∗ )∞ + EnT σ (h)∞ + EnT σ (h0s )∞ . (5.28)

    Следствие. В условиях теоремы 5.3 обратные операторы A−1
                                                          n
(n > n1 > n0 ) ограничены по норме в совокупности:
kA−1            −1                   1                   (i)
  n k = O (1), An : Yn −→ Xn , Yn ⊂ W2 , Xn ⊂ L2 , Pn ∈ Pn (i = 1, 2).


    Замечание 5.3. Из теоремы 5.3 следует сходимость и устойчи-
                                                (i)
вость как метода (5.1), (5.2), (5.22) при Pn ∈ Pn (i = 1, 2), так и
метода механических квадратур, обоснованного в разделе 1.5.
    Замечание 5.4. Утверждения, аналогичные теоремам 5.1 – 5.3,
справедливы также для системы слабо с.и.у. I -рода, исследованной в
разделе 1.14.
    5.4. О равномерной сходимости и насыщаемости мето-
дов. В этой главе, в том числе в теоремах 5.1 – 5.3, погрешность
исследуемых методов установлена в терминах теории приближения
 1)   При его невыполнении утверждение о сходимости метода сохраняется, однако
вместо оценок (5.27) и (5.28) будут другие оценки; здесь доказательство можно
вести с помощью принципа компактной аппроксимации Г.М.Вайникко (см., напр.,
[7]).

                                      80