Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 83 стр.

Проиллюстрируем сказанное на примере уравнения
                                                                1
                  Bϕ ≡ Hϕ + T ϕ = f             (ϕ ∈ L2p , f ∈ W2q ),             (5.30)
           Z+1                                           Z+1
      1                1     ϕ(τ )dτ             1             h(t, τ )ϕ(τ )dτ
 Hϕ ≡            ln         ·√        ,     Tϕ ≡                 √             ≡ θ(hϕ);
      π             |τ − t|    1 − τ2            π                  1 − τ2
          −1                                             −1
здесь f (t) и h(t, τ ) – известные непрерывные функции, а ϕ(t) – иско-
мая функция, которая разыскивается в пространстве L2p [−1, 1] с весом
p(t) = (1 − t2 )−1/2 , причем q(t) = (1 − t2 )1/2 .
     Приближенное решение с.и.у. (5.30) будем искать в виде
                                   n
                                   X              n
                                                  X
                                            k
                        ϕn (t) =         αk t =          βk Tk (t),               (5.31)
                                   k=0            k=0

где αk , βk – неизвестные постоянные. Многочлен (5.31) будем определять
как точное решение уравнения
      Bn ϕn ≡ Pn Bϕn = Pn f         (ϕn ∈ Xn , Pn f ∈ Yn , Pn ∈ Pn ),             (5.32)
где Xn и Yn – подпространства IHn алгебраических многочленов сте-
пени не выше n , наделенные нормами пространств соответственно
                        1
X = L2p [−1, 1] и Y = W2q [−1, 1], а Pn ⊂ L(L2q , IHn ).
     Легко видеть, что уравнение (5.32) эквивалентно СЛАУ порядка
n + 1 относительно коэффициентов многочлена (5.31).
     Как уже отмечено в §3,Hψn ∈ IHn для любого ψn ∈ IHn 1) . Поэто-
му, если оператор Pn ∈ Pn является проекционным (т.е. Pn2 = Pn ), то
приближенное уравнение (5.32) принимает вид
 Bn ϕn ≡ Hϕn + Pn T ϕn = Pn f             (ϕn ∈ Xn , Pn f ∈ Yn , Pn ∈ Pn ). (5.33)
   Для рассматриваемого проекционного метода справедливы сле-
дующие утверждения.
                                                   (1)
    Утверждение 1. Пусть Pn = Pn = {Pn } – множество всех
линейных проекционных операторов из L2q в IHn ⊂ L2q , ограничен-
ных по норме в совокупности. Тогда для схемы (5.30), (5.31), (5.33)
справедлив результат, аналогичный теореме 5.1.
                                                 (2)
    Утверждение 2.Пусть Pn = Pn = {Pn } – множество проек-
ционных операторов из L2q в IHn , таких, что Pn : L2q −→ L2q неогра-
ничены, а Pn : C[−1, 1] −→ L2q ограничены по норме в совокупности.
 1) Таким свойством обладает большое число интегральных операторов, в том
числе операторы с т.н. π–ядрами (см. [71]). Поэтому излагаемый общий проекци-
онный метод применим также к более общим уравнениям, чем слабо с.и.у. (5.30).

                                           82