Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 84 стр.

Тогда для схемы (5.30), (5.31), (5.33) имеет место результат, ана-
логичный теореме 5.2.
    Утверждение 3. Уравнение (5.33) заменим возмущенным урав-
нением
   B n ϕn ≡ Hϕn + Pn θPnτ (hϕn ) = Pn f (ϕn ∈ Xn , Pn f ∈ Yn , Pn ∈ Pn ),
                                                                     (5.34)
       τ
где Pn означает, что оператор Pn применен по переменной τ. Для
схемы (5.30), (5.31), (5.34) справедлив результат, аналогичный тео-
реме 5.3.
     Заметим, что указанные утверждения могут быть доказаны как
самостоятельно, так и (что еще проще) путем сведения (см. §3) уравне-
ний (5.30), (5.33) и (5.34) к частным случаям уравнений соответствен-
но (5.1), (5.5) и (5.22).
    5.6. Общий проекционный метод решения слабосингу-
лярных уравнений II -рода. Результаты, полученные выше для
слабо с.и.у. I -рода (0.1) – (0.3) и их обобщений, легко переносятся на
слабо с.и.у.II -рода и существенно упрощаются и усиливаются. В обо-
значениях разделов 5.1 – 5.3 этот вопрос рассмотрим, хотя бы вкратце,
применительно к слабо с.и.у. II -рода вида
                      Z2π
                  1
     Kx ≡ x(s) +            h(s − σ)x(σ) dσ = y(s) (x, y ∈ L2 );    (5.35)
                 2π
                      0

здесь h(s) ∈ L1 [0, 2π] и y(s) ∈ L2 [0, 2π] – известные 2π-периодические
функции, а x(s) – искомая функция. Заметим, что в приложениях
нередко встречается ядро вида h(2θ) = |ctg θ|γ lnm | sin θ|, где θ = (s− σ)/2,
0 6 γ < 1, m + 1 ∈ N, m + γ > 0.
     Приближенное решение уравнения (5.35) снова ищем в виде по-
линома (5.2), который будем определять как решение уравнения
     Kn xn ≡ xn + Pn Hxn = Pn y (xn , Pn y ∈ IHTn , Pn ∈ Pn ),      (5.36)
                                  Z 2π
                                1
              Hx ≡ H(x; s) ≡           h(s − σ)x(σ) dσ,             (5.37)
                               2π 0
где Pn = {Pn } ⊂ L(L2 , IHTn ) – некоторое множество линейных проек-
ционных (Pn2 = Pn ) операторов из L2 [0, 2π] в IHTn с L2 -нормой. Ясно,
что уравнение (6.36) эквивалентно СЛАУ порядка 2n+1 относительно
коэффициентов полинома (5.2).
     Для метода (5.35), (5.2), (5.36) справедливы следующие теоремы.

                                      83