Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 86 стр.

Ясно, что в (5.43) оператор Kn является сужением оператора K на
IHTn ⊂ L2 . Поэтому приближенное уравнение (6.36) однозначно разре-
шимо в IHTn при любых n = 0, 1, . . ., а x∗n = Kn−1 Pn y = K −1 Pn y. В силу
этого для невязки и погрешности рассматриваемого приближенного
метода справедливы соотношения
                rn ≡ y − Kx∗n = y − Pn y,          x∗ − x∗n = K −1 rn .   (5.44)
Из (5.44) легко находим неравенства
        kKk−1
            2
                 ky − Pn yk2 6 kx∗ − x∗n k2 6 kK −1 k2 ky − Pn yk2 ,      (5.45)
                                                         ©       ª
       kx∗ − x∗n k2 6 kK −1 k2 · kE − Pn k2 EnT (y)2 = O EnT (y)2 .       (5.46)
Из (5.45) и (5.46) с учетом неравенств (5.42) следуют требуемые оценки
(5.38) и (5.39), а из них, в свою очередь, следует требуемое утвержде-
ние.
     По аналогии с теоремой 5.4 доказывается следующая
                                             (2)
     Теорема 5.5. Пусть Pn ∈ Pn , y ∈ C2π и ck (h) 6= −1, k =
0, ±1, . . . Тогда как точное уравнение (5.35), так и приближенные
уравнения (5.36) при любых n = 0, 1, . . . однозначно разрешимы в про-
странствах соответственно L2 и IHTn ⊂ L2 . Приближенные решения
сходятся в среднем, причем справедливы оценки (5.38) и
         kx∗ − x∗n k2 6 2 kPn k∞→2 · EnT (y)∞ · max |1 + ck (h)|−1 .      (5.47)
                                                     k

       Равномерную сходимость метода устанавливает следующая
    Теорема 5.6.Пусть правая часть y ∈ C2π и операторы Pn ∈
 (j)
Pn  (j = 1, 2) таковы, что ky − Pn yk∞ → 0 при n → ∞. Тогда в усло-
виях каждой из теорем 5.4 и 5.5 приближенные решения сходятся
к точному решению равномерно, причем справедливы оценки
        |1 + c0 (|h|)|−1 6 {kx∗ − x∗n k∞ /ky − Pn yk∞ } 6 kK −1 k∞ ,      (5.48)
                   kx∗ − x∗n k∞ 6 2 kPn k∞ kK −1 k∞ EnT (y)∞ .            (5.49)
Если, кроме того, слабо сингулярное ядро h(s) таково, что оператор
H : L2 −→ C2π ограничен, то справедлива равномерная оценка
                      ¡                   ¢
        kx∗ − x∗n k∞ 6 1 + kK −1 k2 kHk2→∞ · ky − Pn yk∞ .   (5.50)

     Доказательство проводится по схеме доказательства теоремы
5.4. С учетом очевидных соотношений
                       kKk∞ 6 1 + kHk∞ 6 1 + c0 (|h|)

                                        85