Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 87 стр.

из (5.44) по аналогии с (5.38) выводим неравенства (5.48). Из (55.48),
в свою очередь, легко выводится оценка (5.49). Пусть теперь H –
ограниченный оператор из L2 в C2π . Тогда из тождества x∗ − x∗n ≡
≡ y − Pn y − H(x∗ − x∗n ) находим
          kx∗ − x∗n k∞ 6 ky − Pn yk∞ + kHk2→∞ · kx∗ − x∗n k2 .
Отсюда и из правой части неравенств (5.45) получаем оценку
      kx∗ − x∗n k∞ 6 ky − Pn yk∞ + kHk2→∞ · kK −1 k2 · ky − Pn yk2 ,
откуда, в свою очередь, следует оценка (5.50).
     5.7. О невязках приближенных методов. Более сильные
оценки, чем приведенные выше, имеют место для невязок исследован-
ных выше приближенных методов. Для иллюстрации приведем лишь
два результата.
    Теорема 5.7. В условиях теоремы 1.12 методы коллокации и
механических квадратур и в условиях следствия 2 теоремы 5.1 об-
щий проекционный метод решения слабо с.и.у. (1.1) сходятся в том
смысле, что для невязок rn (s) = y(s) − K(x∗n ; s) этих методов спра-
ведливы оценки
    krn(k) (s)k2 = O (n−r−α−1+k ),   r + α + 1 > k, k + 1 ∈ N.         (5.51)

    Доказательство приведем лишь в условиях следствия 2 теоре-
                                                          (1)
мы 5.1, где для общего проекционного метода при Pn ∈ Pn доказано,
что kx∗ − x∗n k2 = O (n−r−α ) . Тогда можно показать, что функция
            ϕn (s) ≡ S(x∗n ; s) ≡ y(s) − R(x∗n ; s) ∈ W r+1 H α        (5.52)
равномерно относительно n ∈ N . Тогда, как известно, существует по-
лином Qn (x) ∈ IHTn такой, что для k + 1 ∈ N справедливы оценки
      kϕ(k)      (k)
        n (s) − Qn (s)k2 6 a n
                               −r−1−α+k
                                        ,      r + 1 + α > k,          (5.53)
где a – положительная постоянная, не зависящая от n ∈ N .
    Для невязки проекционного метода решения с.и.у. (0.1) при Pn ∈
Pn справедливы тождества
     rn = y − Kx∗n = Sx∗n − Pn Sx∗n = ( E − Pn ) ( ϕn − Qn ).          (5.54)
Поэтому
     dk rn (s) dk [ ϕn (s) − Qn (s) ]  dk
              =                       − k Pn [ (ϕn − Qn ); s].         (5.55)
       dsk               dsk           ds
                                     86