Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 88 стр.

Используя неравенство Бернштейна в L2 и оценку (5.53) при k = 0 ,
последовательно находим
          ° k                        °
          °d                         °
          °     P   {(ϕ   − Q  ); s} ° 6 nk kPn (ϕn − Qn )k 6
          ° dsk   n     n    n       °                     2
                                       2


 6 nk kPn k2 kϕn − Qn k2 = O (nk ) · O (n−r−1−α ) = O (n−r−1−α+k ). (5.56)
     Из соотношений (5.53) – (5.56) следует требуемая оценка (5.51)
                                                            (1)
для общего проекционного метода (5.2) – (5.5) при Pn ∈ Pn .
     Аналогично теореме 5.7, но используя элементы теории прибли-
жений в пространствах C2π и H β (см., напр., [48, 51, 75], а также [12,
13, 18, 25]), доказывается следующая
     Теорема 5.8. В условиях теоремы 1.14 м.м.к. решения слабо
с.и.у. (0.1) сходится в том смысле, что для его невязки rn (s) спра-
ведливы оценки
                   krn(k) (s)kβ = O (n−r−1−α+k+β ln n),            (5.57)
где r + 1 + α > k + β , k + 1 ∈ N , 0 6 β 6 1 , H 0 ≡ C2π .
    5.8. Заключительные замечания.
      Замечание 5.5. Условия теорем о м.к. и м.м.к могут быть
несколько ослаблены за счет соответствующих результатов глав 1 и
2 книги [35] об апппроксимативных свойствах интерполяционных опе-
раторов Лаграгжа.
      Замечание 5.6. Завершая эту главу, отметим, что в ней, как
правило, была использована пара пространств L2 , W21 (с весами или
без них – в зависимости от ситуации). Однако аналогичные результаты
(без существенных изменений как в доказательствах, так и в формули-
                                                             1
ровках) могут быть получены и для пары пространств Lr,p , Wr,q   (при
любых r ∈ (1, ∞) ) с весами p(s) ≡ q(s) ≡ 1, −∞ < s < +∞, для
периодических уравнений и p(t) = (1 − t2 )−1/2 , q(t) = (1 − t2 )1/2 ,
−1 < t < 1, для непериодических уравнений. Кроме того, в случае
проекционных методов решения слабо с.и.у. первого рода вместо ин-
тегральных операторов Фредгольма везде можно брать произвольные
линейные операторы T , вполне непрерывные из L2 в W21 (из L2p [−1, 1]
     1                         (1)                             1
в W2q  [−1, 1] ) при Pn ∈ Pn и вполне непрерывные из L2 в C2π      (из
                                     (2)
L2p [−1, 1] в C 1 [−1, 1]) при Pn ∈ Pn .




                                    87