Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 90 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

На сегменте [−1, 1] введем две системы узлов
t
k
= t
k,n
= −1 +
2k
n
, k = 0, n, n ∈ N, (1.1)
t
k
= t
k,n
= −1 +
2k − 1
n
, k = 1 , n, (1.2)
и обозначим через ψ
k
= ψ
k,n
(t) ∈ M[−1, 1] характеристические функ-
ции интервалов (t
k−1
, t
k
], k = 1, n , непрерывные справа, а функцию
ψ
1
(t) будем считать также непрерывной слева; здесь и далее M[−1, 1]
– пространство определенных на [−1, 1] ограниченных функций с обыч-
ной sup–нормой.
Приближенное решение уравнения (0.1) будем искать в виде сплай-
на нулевого порядка
ϕ
n
(t) =
n
X
k=1
α
k
ψ
k
(t), (1.3)
неизвестные коэффициенты α
k
которого будем определять из условий
F (ϕ
n
;
¯
t
j
) = f(
¯
t
j
), j = 1, n. (1.4)
Эти условия эквивалентны СЛАУ вида
n
X
k=1
a
j−k
α
k
= f
j
, j = 1, n, f
j
= f(
¯
t
j
), a
j−k
= F (ψ
k
;
¯
t
j
). (1.5)
Легко видеть, что
a
j−k
=
t
k
Z
t
k−1
h(
¯
t
j
− τ) dτ =
k−j
n
+
1
2n
Z
k−j
n
−
1
2n
h(τ) dτ =
=
¯
t
k−j+1
Z
¯
t
k−j
h(τ) dτ =
¯
t
j−k+1
Z
¯
t
j−k
h(τ) dτ = a
k−j
. (1.6)
Поэтому матрица A
n
≡ [a
j−k
]
k=1,n
j=1,n
системы (1.5) является симметрич-
ной и теплицевой, чт´о значительно облегчает исследование рассматри-
ваемого метода. Однако следует отметить, что только что приведенная
вычислительная схема в общем случае, по–видимому, не обоснована; в
ряде частных случаев в работе [79] предложены интересные результа-
ты о свойствах матрицы A
n
(см. также [83, 85]).
89
    На сегменте [−1, 1] введем две системы узлов
                                   2k
                 tk = tk,n = −1 +     , k = 0, n, n ∈ N,          (1.1)
                                    n
                                      2k − 1
                  tk = tk,n = −1 +           , k = 1, n,          (1.2)
                                        n
и обозначим через ψk = ψk,n (t) ∈ M [−1, 1] характеристические функ-
ции интервалов (tk−1 , tk ], k = 1, n , непрерывные справа, а функцию
ψ1 (t) будем считать также непрерывной слева; здесь и далее M [−1, 1]
– пространство определенных на [−1, 1] ограниченных функций с обыч-
ной sup–нормой.
      Приближенное решение уравнения (0.1) будем искать в виде сплай-
на нулевого порядка
                                    X n
                           ϕn (t) =     αk ψk (t),                (1.3)
                                             k=1
неизвестные коэффициенты αk которого будем определять из условий
                         F (ϕn ; t̄j ) = f (t̄j ),          j = 1, n.              (1.4)
Эти условия эквивалентны СЛАУ вида
    n
    X
          aj−k αk = fj , j = 1, n,          fj = f (t̄j ), aj−k = F (ψk ; t̄j ).   (1.5)
    k=1

    Легко видеть, что
                                                            k−j   1
                             Ztk                             n + 2n
                                                             Z
                aj−k =              h(t̄j − τ ) dτ =                  h(τ ) dτ =
                             tk−1                          k−j   1
                                                            n − 2n


                     Zt̄k−j+1                      Zt̄j−k+1
                =            h(τ ) dτ =                    h(τ ) dτ = ak−j .       (1.6)
                     t̄k−j                         t̄j−k

Поэтому матрица An ≡ [aj−k ]k=1,n
                              j=1,n
                                    системы (1.5) является симметрич-
ной и теплицевой, что́ значительно облегчает исследование рассматри-
ваемого метода. Однако следует отметить, что только что приведенная
вычислительная схема в общем случае, по–видимому, не обоснована; в
ряде частных случаев в работе [79] предложены интересные результа-
ты о свойствах матрицы An (см. также [83, 85]).



                                              89

Страницы