Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 91 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1.2. Некоторые общие результаты. В общем случае уравне-
ния (0.1) предполагаем (в конкретных случаях выполнение этого пред-
положения должно быть доказано), что матрица A
n
является невы-
рожденной хотя бы при n > n
0
. Тогда, очевидно, имеем
0 < kA
−1
n
k
i
≡ θ
n,i
< ∞ ( i = 1, 2, 3 ), (1.7)
где θ
n,i
означает i–ю норму матрицы A
−1
n
, согласованную с i–й нормой
n –мерного вектора. Здесь и далее будем пользоваться следующими
нормами векторов:
kσk
1
= max
16k6n
|σ
k
|, kσk
2
=
1
n
n
X
k=1
|σ
k
|,
kσk
3
=
Ã
1
n
n
X
k=1
|σ
k
|
2
!
1/2
, σ = (σ
1
, σ
2
, . . . , σ
n
),
kσk
2
6 kσk
3
6 kσk
1
.
Из условия (1.7) следует, что хотя бы при n > n
0
определяется
приближенное решение
ϕ
∗
n
(t) =
n
X
k=1
α
∗
k
ψ
k
(t), −1 6 t 6 1, (1.3
∗
)
где α
∗
1
, α
∗
2
, . . . , α
∗
n
– решение СЛАУ (1.5). Докажем теоремы о его схо-
димости к точному решению ϕ
∗
(t) и установим оценки погрешности
в зависимости от свойств элементов уравнения (0.1).
Введем вектор погрешности ε = (ε
1
, ε
2
, . . . , ε
n
) с компонентами
ε
k
= ϕ
∗
(
¯
t
k
) − ϕ
∗
n
(
¯
t
k
) , и через ω(ϕ; δ) = ω(ϕ; δ)
C
= ω(ϕ; δ)
∞
будем
обозначать, как и выше, модуль непрерывности функции ϕ ∈ C[−1, 1]
с шагом δ ∈ (0, 2] .
Теорема 1.1. Пусть выполнены условия: а)
2
R
0
|h(τ)|dτ ≡ a < ∞;
б) хотя бы при n > n
0
матрица A
n
невырожденная; в) уравне-
ние (0.1) имеет такое решение ϕ
∗
∈ C[−1, 1], что при n → ∞
θ
n,i
ω(ϕ
∗
; 1/n)
C
= o (1), i = 1, 3. (1.8)
Тогда приближенные решения (1.3
∗
) сходятся в следующем смысле:
kεk
i
6 a θ
n,i
ω(ϕ
∗
; 1/n)
C
= o (1), i = 1, 3. (1.9)
90
     1.2. Некоторые общие результаты. В общем случае уравне-
ния (0.1) предполагаем (в конкретных случаях выполнение этого пред-
положения должно быть доказано), что матрица An является невы-
рожденной хотя бы при n > n0 . Тогда, очевидно, имеем
                 0 < kA−1
                       n ki ≡ θn,i < ∞ ( i = 1, 2, 3 ),                                  (1.7)
где θn,i означает i–ю норму матрицы A−1
                                     n , согласованную с i–й нормой
n –мерного вектора. Здесь и далее будем пользоваться следующими
нормами векторов:
                                                                 n
                                                          1X
                 kσk1 = max |σk |,                 kσk2 =    |σk |,
                             16k6n                        n
                                                                k=1
                     Ã        n
                                         !1/2
                         1X
            kσk3 =          |σk |2              ,     σ = (σ1 , σ2 , . . . , σn ),
                         n
                             k=1
                              kσk2 6 kσk3 6 kσk1 .
    Из условия (1.7) следует, что хотя бы при n > n0 определяется
приближенное решение
                                  n
                                  X
                   ϕ∗n (t)   =          αk∗ ψk (t),     −1 6 t 6 1,                     (1.3∗ )
                                  k=1

где α1∗ , α2∗ , . . . , αn∗ – решение СЛАУ (1.5). Докажем теоремы о его схо-
димости к точному решению ϕ∗ (t) и установим оценки погрешности
в зависимости от свойств элементов уравнения (0.1).
     Введем вектор погрешности ε = (ε1 , ε2 , . . . , εn ) с компонентами
εk = ϕ∗ (t̄k ) − ϕ∗n (t̄k ) , и через ω(ϕ; δ) = ω(ϕ; δ)C = ω(ϕ; δ)∞ будем
обозначать, как и выше, модуль непрерывности функции ϕ ∈ C[−1, 1]
с шагом δ ∈ (0, 2] .
                                                                       R2
     Теорема 1.1. Пусть выполнены условия: а)                               |h(τ )| dτ ≡ a < ∞ ;
                                                                       0
б) хотя бы при n > n0 матрица An невырожденная; в) уравне-
ние (0.1) имеет такое решение ϕ∗ ∈ C[−1, 1], что при n → ∞
                     θn,i ω(ϕ∗ ; 1/n)C = o (1),              i = 1, 3.                   (1.8)
Тогда приближенные решения (1.3∗ ) сходятся в следующем смысле:
               kεki 6 a θn,i ω(ϕ∗ ; 1/n)C = o (1),                   i = 1, 3.           (1.9)



                                              90

Страницы