Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 92 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Доказательство. Введем оператор S
n
= S
0
n
: C[−1, 1]−→M[−1, 1]
по формуле
S
n
ϕ = S
0
n
(ϕ; t) =
n
X
k=1
ϕ(
¯
t
k
) ψ
k
(t), ϕ ∈ C[−1, 1]. (1.10)
Поскольку F (ϕ
∗
;
¯
t
j
) = f(
¯
t
j
) = F (ϕ
∗
n
;
¯
t
j
), j = 1, n , то справедливо
тождество
F (ϕ
∗
n
− S
n
ϕ
∗
;
¯
t
j
) = F (ϕ
∗
− S
n
ϕ
∗
;
¯
t
j
), j = 1, n. (1.11)
В силу (1.4) – (1.6) это тождество можно представить в виде
n
X
k=1
a
j−k
[ϕ
∗
n
(
¯
t
k
) − ϕ
∗
(
¯
t
k
)] = F (ϕ
∗
− S
n
ϕ
∗
;
¯
t
j
), j = 1, n. (1.12)
Запишем (1.12) в векторном виде
A
n
ε = r, (1.12
0
)
где ε и r суть n –мерные вектора с координатами соответственно ε
k
и r
k
= −F (ϕ
∗
−S
n
ϕ
∗
;
¯
t
k
), k = 1, n . Тогда с учетом условия б) теоремы
имеем
ε = A
−1
n
r, kεk
i
6 θ
n,i
krk
i
, i = 1, 3. (1.13)
Ясно, что для вектора r = (r
1
, r
2
, . . . , r
n
) справедливы неравенства
krk
i
6 krk
1
= max
16k6n
|F (ϕ
∗
− S
n
ϕ
∗
;
¯
t
k
)| 6 kF (ϕ
∗
− S
n
ϕ
∗
)k
C
6
6 kF k
M→C
· kϕ
∗
− S
n
ϕ
∗
k
M
, i = 2, 3. (1.14)
Легко показать, что в силу условия а) теоремы имеем
kF k
M→C
=kF k
C→C
= max
−16t61
Z
+1
−1
|h(τ −t)|dτ =
Z
2
0
|h(τ)|dτ ≡ a < ∞.
(1.15)
Из (1.13) – (1.15) находим оценки
kεk
i
6 a θ
n,i
kϕ
∗
− S
n
ϕ
∗
k
M
, i = 1, 3. (1.16)
Очевидно, что для любой ϕ ∈ C[−1, 1]
kϕ − S
n
ϕk
M
= max
16i6n
max
t
i−1
6t6t
i
|ϕ(t) − ϕ(
¯
t
i
)| 6 ω(ϕ; 1/n)
C
. (1.17)
Из (1.16), (1.17) получаем оценку (1.9), а из нее с учетом условия (1.8)
следует утверждение теоремы.
91
    Доказательство. Введем оператор Sn = Sn0 : C[−1, 1]−→M [−1, 1]
по формуле
                                     n
                                     X
           Sn ϕ =   Sn0 (ϕ; t)   =         ϕ(t̄k ) ψk (t),   ϕ ∈ C[−1, 1].       (1.10)
                                     k=1

Поскольку F (ϕ∗ ; t̄j ) = f (t̄j ) = F (ϕ∗n ; t̄j ), j = 1, n , то справедливо
тождество
               F (ϕ∗n − Sn ϕ∗ ; t̄j ) = F (ϕ∗ − Sn ϕ∗ ; t̄j ),      j = 1, n.    (1.11)
В силу (1.4) – (1.6) это тождество можно представить в виде
     n
     X
           aj−k [ϕ∗n (t̄k ) − ϕ∗ (t̄k )] = F (ϕ∗ − Sn ϕ∗ ; t̄j ),    j = 1, n.   (1.12)
     k=1

Запишем (1.12) в векторном виде
                                            An ε = r,                            (1.120 )
где ε и r суть n –мерные вектора с координатами соответственно εk
и rk = −F (ϕ∗ −Sn ϕ∗ ; t̄k ), k = 1, n . Тогда с учетом условия б) теоремы
имеем
               ε = A−1   n r,    kεki 6 θn,i krki , i = 1, 3.         (1.13)
Ясно, что для вектора r = (r1 , r2 , . . . , rn ) справедливы неравенства
     krki 6 krk1 = max |F (ϕ∗ − Sn ϕ∗ ; t̄k )| 6 kF (ϕ∗ − Sn ϕ∗ )kC 6
                         16k6n

                     6 kF kM →C · kϕ∗ − Sn ϕ∗ kM ,             i = 2, 3.         (1.14)
Легко показать, что в силу условия а) теоремы имеем
                           Z +1                Z 2
  kF kM →C =kF kC→C = max       |h(τ − t)| dτ = |h(τ )| dτ ≡ a < ∞.
                             −16t61 −1                          0
                                                                                 (1.15)
Из (1.13) – (1.15) находим оценки
                     kεki 6 a θn,i kϕ∗ − Sn ϕ∗ kM ,            i = 1, 3.         (1.16)
Очевидно, что для любой ϕ ∈ C[−1, 1]
     kϕ − Sn ϕkM = max               max |ϕ(t) − ϕ(t̄i )| 6 ω(ϕ; 1/n)C .         (1.17)
                         16i6n ti−1 6t6ti

Из (1.16), (1.17) получаем оценку (1.9), а из нее с учетом условия (1.8)
следует утверждение теоремы.

                                                 91

Страницы