Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

=
Ã
1
2
n
X
k=1
|ϕ
k
|
2
Z
t
k
t
k−1
ψ
2
k
(t) dt
!
1/2
=
Ã
1
n
n
X
k=1
|ϕ
k
|
2
!
1/2
=
= k~ϕk
3
6 k~ϕk
1
6 kϕk
∞
. (1.23)
Из соотношений (1.19) – (1.23) с учетом аппроксимативных свойств
сплайна S
n
ϕ
∗
находим
kϕ
∗
− ϕ
∗
n
k
X(i)
6 kϕ
∗
− S
n
ϕ
∗
k
X(i)
+ k~ϕ
∗
− ~ϕ
n
∗
k
i
6
6 ω(ϕ
∗
; 1/n)
∞
+ kεk
i
, i = 1, 3, (1.24)
где вектор ε = ~ϕ
∗
− ~ϕ
∗
n
определен выше. Очевидно, что из формул
(1.24) и (1.9) следует требуемое утверждение.
Теорему 1.2 несколько дополняет следующая
Теорема 1.3. Пусть выполнены условия: а) F : L
2
[−1, 1] −→
C[−1, 1] – ограниченный оператор; б) существует A
−1
n
(n > n
0
) и
kA
−1
n
k
3
= θ
n,3
< ∞; в) уравнение (1.1) разрешимо в L
2
хотя бы при
данной правой части f(t) ∈ C[−1, 1] и его решение ϕ
∗
(t) ∈ L
2
[−1, 1]
удовлетворяет условию
θ
n,3
ω(ϕ
∗
; 1/n)
2
= o (1), n → ∞. (1.25)
Тогда приближенные решения ϕ
∗
n
(t) сходятся в L
2
[−1, 1] со скоро-
стью
kϕ
∗
− ϕ
∗
n
k
2
= O {θ
n,3
ω(ϕ
∗
; 1/n)
2
}, (1.26)
где ω(ϕ
∗
; δ)
2
– модуль непрерывности функции ϕ
∗
(t) с шагом δ ∈
(0, 2] в пространстве L
2
[−1, 1] .
Доказательство. Пусть L
2,n
– линейная оболочка, натянутая
на элементы ψ
1
, ψ
2
, . . . , ψ
n
. Ясно, что L
2,n
⊂ L
2
и уравнения (1.1) и
(1.5) эквивалентны операторным уравнениям соответственно
F ϕ = f ( ϕ, f ∈ L
2
), F
n
ϕ
n
≡ S
n
F ϕ
n
= S
n
f (ϕ
n
, S
n
f ∈ L
2,n
). (1.27)
Для этих уравнений в силу теоремы 6 гл. I [25] и условия б) теоремы
справедливо тождество
ϕ
∗
− ϕ
∗
n
= (E − F
−1
n
S
n
F ) (ϕ
∗
− ϕ
0
n
), n > n
0
, (1.28)
где ϕ
0
n
– произвольный элемент из L
2,n
. Положим
ϕ
0
n
(t) =
n
2
n
X
k=1
ψ
k
(t)
Z
t
k
t
k−1
ϕ
∗
(t) dt. (1.29)
93
            Ã    n                 Z                       !1/2       Ã    n
                                                                                             !1/2
                1X                      tk
                                                                          1X
        =                 |ϕk |2              ψk2 (t) dt          =                 |ϕk |2          =
                2                      tk−1                               n
                    k=1                                                       k=1
                                   = k~
                                      ϕk3 6 k~
                                             ϕk1 6 kϕk∞ .                                               (1.23)
Из соотношений (1.19) – (1.23) с учетом аппроксимативных свойств
сплайна Sn ϕ∗ находим
            kϕ∗ − ϕ∗n kX(i) 6 kϕ∗ − Sn ϕ∗ kX(i) + k~
                                                   ϕ∗ − ϕ
                                                        ~ n ∗ ki 6
                           6 ω(ϕ∗ ; 1/n)∞ + kεki ,                    i = 1, 3,                         (1.24)
где вектор ε = ϕ  ~∗ − ϕ~ ∗n определен выше. Очевидно, что из формул
(1.24) и (1.9) следует требуемое утверждение.
     Теорему 1.2 несколько дополняет следующая
     Теорема 1.3. Пусть выполнены условия: а) F : L2 [−1, 1] −→
C[−1, 1] – ограниченный оператор; б) существует A−1  n (n > n0 ) и
   −1
kAn k3 = θn,3 < ∞ ; в) уравнение (1.1) разрешимо в L2 хотя бы при
данной правой части f (t) ∈ C[−1, 1] и его решение ϕ∗ (t) ∈ L2 [−1, 1]
удовлетворяет условию
                          θn,3 ω(ϕ∗ ; 1/n)2 = o (1),                  n → ∞.                            (1.25)
Тогда приближенные решения ϕ∗n (t) сходятся в L2 [−1, 1] со скоро-
стью
               kϕ∗ − ϕ∗n k2 = O {θn,3 ω(ϕ∗ ; 1/n)2 },       (1.26)
где ω(ϕ∗ ; δ)2 – модуль непрерывности функции ϕ∗ (t) с шагом δ ∈
(0, 2] в пространстве L2 [−1, 1] .
      Доказательство. Пусть L2,n – линейная оболочка, натянутая
на элементы ψ1 , ψ2 , . . . , ψn . Ясно, что L2,n ⊂ L2 и уравнения (1.1) и
(1.5) эквивалентны операторным уравнениям соответственно
  F ϕ = f ( ϕ, f ∈ L2 ), Fn ϕn ≡ Sn F ϕn = Sn f (ϕn , Sn f ∈ L2,n ).                                    (1.27)
Для этих уравнений в силу теоремы 6 гл. I [25] и условия б) теоремы
справедливо тождество
             ϕ∗ − ϕ∗n = (E − Fn−1 Sn F ) (ϕ∗ − ϕ0n ),                               n > n0 ,            (1.28)
где ϕ0n – произвольный элемент из L2,n . Положим
                             n        Z tk
                    0      nX
                  ϕn (t) =     ψk (t)       ϕ∗ (t) dt.                                                  (1.29)
                           2           tk−1    k=1



                                                      93

Страницы