Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Тогда, как известно (см., напр., [57]),
kϕ
∗
− ϕ
0
n
k
2
6 ω(ϕ
∗
; 2/n)
2
6 2 ω(ϕ
∗
; 1/n)
2
. (1.30)
Из (1.28) – (1.30) следует оценка
kϕ
∗
− ϕ
∗
n
k
2
6 2 ω(ϕ
∗
; 1/n)
2
· (1 + kF
−1
n
k
2
· kS
n
F k
2
), (1.31)
где F
−1
n
: L
2,n
−→ L
2,n
⊂ L
2
, S
n
F : L
2
−→ L
2,n
⊂ L
2
.
В силу (1.23) и условия а) теоремы для любого ϕ ∈ L
2
имеем
kS
n
F ϕk
L
2
6 kF ϕk
C
6 kF k
L
2
→C
· kϕk
L
2
≡ a
0
kϕk
L
2
. (1.32)
Возьмем сплайн ϕ
n
(t) =
P
n
k=1
a
k
ψ
k
(t) ∈ L
2,n
и образуем вектор
~ϕ
n
= (a
1
, a
2
, . . . , a
n
) ∈ IR
n
с компонентами a
k
= ϕ
n
(
¯
t
k
), k = 1, n ;
наоборот, вектору ~ϕ
n
= (a
1
, a
2
, . . . , a
n
) ∈ IR
n
поставим в соответствие
сплайн ϕ
n
(t) =
P
n
k=1
a
k
ψ
k
(t) ∈ L
2,n
. Тогда в силу (1.23) имеем
kϕ
n
k
L
2
=
½
1
2
Z
+1
−1
|ϕ
n
(t)|
2
dt
¾
1/2
=
Ã
1
n
n
X
k=1
|a
k
|
2
!
1/2
= k~ϕ
n
k
3
, (1.33)
и поэтому пространства L
2,n
и IR
n
являются изоморфными и изомет-
ричными. Отсюда и из (1.3) – (1.6), (1.27) находим
kF
n
ϕ
n
k
2
= kA
n
~ϕ
n
k
3
( ϕ
n
∈ L
2,n
, ~ϕ
n
∈ IR
n
). (1.34)
Из (1.34), (1.33) следует, что операторы F
n
: L
2,n
−→ L
2,n
и матрицы
A
n
: IR
n
−→ IR
n
обратимы (или нет) одновременно и
kF
n
k
2
= kA
n
k
3
; kF
−1
n
k
2
= kA
−1
n
k
3
≡ θ
n,3
< ∞. (1.35)
Теперь из (1.31), (1.32), (1.35) следует требуемое утверждение:
kϕ
∗
− ϕ
∗
n
k
2
6 2 (1 + a
0
θ
n,3
) ω(ϕ
∗
; 1/n)
2
. (1.26
0
)
Замечание 1.1. Если F – ограниченный оператор в C или из L
в C , то результат, аналогичный теореме 1.3, можно получить также в
пространствах C[−1, 1] и L[−1, 1] ; при этом существенную роль игра-
ют аналоги соотношений (1.34), (1.35) для пар пространств M[−1, 1]
и m
n
; L
1
[−1, 1] и l
n
1
. А тогда теорема 1.1 может быть получена также
только что указанным способом, т.е. с помощью общей теории прибли-
женных методов анализа.
1.3. Приложения к конкретным уравнениям. Ясно, что для
применимости теорем 1.1 – 1.3 необходимо знать некоторые структур-
ные свойства решения ϕ
∗
(t) уравнения (0.1) и свойства матрицы A
n
.
94
Тогда, как известно (см., напр., [57]),
                  kϕ∗ − ϕ0n k2 6 ω(ϕ∗ ; 2/n)2 6 2 ω(ϕ∗ ; 1/n)2 .                  (1.30)
Из (1.28) – (1.30) следует оценка
         kϕ∗ − ϕ∗n k2 6 2 ω(ϕ∗ ; 1/n)2 · (1 + kFn−1 k2 · kSn F k2 ),              (1.31)
где Fn−1 : L2,n −→ L2,n ⊂ L2 , Sn F : L2 −→ L2,n ⊂ L2 .
    В силу (1.23) и условия а) теоремы для любого ϕ ∈ L2 имеем
         kSn F ϕkL2 6 kF ϕkC 6 kF kL2 →C · kϕkL2 ≡ a0 kϕkL2 .                       (1.32)
                                        P
     Возьмем сплайн ϕn (t) = nk=1 ak ψk (t) ∈ L2,n и образуем вектор
~ n = (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ IRn с компонентами ak = ϕn (t̄k ), k = 1, n ;
ϕ
наоборот, вектору    Pnϕ  ~ n = (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ IRn поставим в соответствие
сплайн ϕn (t) = k=1 ak ψk (t) ∈ L2,n . Тогда в силу (1.23) имеем
             ½ Z +1                     ¾1/2 Ã X          n
                                                                    !1/2
                1                                      1
   kϕn kL2 =               |ϕn (t)|2 dt         =            |ak |2      = k~
                                                                            ϕn k3 , (1.33)
                2 −1                                   n
                                                    k=1

и поэтому пространства L2,n и IRn являются изоморфными и изомет-
ричными. Отсюда и из (1.3) – (1.6), (1.27) находим
                kFn ϕn k2 = kAn ϕ
                                ~ n k3                    ~ n ∈ IRn ).
                                            ( ϕn ∈ L2,n , ϕ                       (1.34)
Из (1.34), (1.33) следует, что операторы Fn : L2,n −→ L2,n и матрицы
An : IRn −→ IRn обратимы (или нет) одновременно и
         kFn k2 = kAn k3 ;         kFn−1 k2 = kA−1
                                                n k3 ≡ θn,3 < ∞.                  (1.35)
      Теперь из (1.31), (1.32), (1.35) следует требуемое утверждение:
                    kϕ∗ − ϕ∗n k2 6 2 (1 + a0 θn,3 ) ω(ϕ∗ ; 1/n)2 .               (1.260 )

     Замечание 1.1. Если F – ограниченный оператор в C или из L
в C , то результат, аналогичный теореме 1.3, можно получить также в
пространствах C[−1, 1] и L[−1, 1] ; при этом существенную роль игра-
ют аналоги соотношений (1.34), (1.35) для пар пространств M [−1, 1]
и mn ; L1 [−1, 1] и l1n . А тогда теорема 1.1 может быть получена также
только что указанным способом, т.е. с помощью общей теории прибли-
женных методов анализа.
    1.3. Приложения к конкретным уравнениям. Ясно, что для
применимости теорем 1.1 – 1.3 необходимо знать некоторые структур-
ные свойства решения ϕ∗ (t) уравнения (0.1) и свойства матрицы An .

                                           94

Страницы