Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 96 стр.

Отметим, что свойства ϕ∗ (t) для конкретных слабосингулярных раз-
ностных ядер h(t−τ ) можно установить с помощью соответствующих
результатов работ [9, 45, 66, 72]. А нужные нам свойства матрицы An
с учетом ее симметричности и теплицевости в ряде случаев легко вы-
вести из известных результатов В.А. Цецохо (см., напр., [78-81]). При-
ведем два из таких результатов в следующей лемме.
         Лемма 1.1. а) Если h(t, τ ) = |t − τ |−γ , где 0 < γ = const < 1,
то
                                  θn,3 = kA−1
                                           n k3 = O (n
                                                      1−γ
                                                          );                     (1.36)
б) если же h(t − τ ) = ln |t − τ |, то
                                   θn,3 = kA−1
                                            n k3 = O (n).                        (1.37)
         Из теорем 1.1 – 1.3 и леммы 1.1 в случае ядер (0.3) следует
     Теорема 1.4. В случае ядер (0.3) СЛАУ (1.5) имеет единствен-
ное решение α1∗ , α2∗ , . . . , αn∗ . При этом справедливы утверждения:
     а) Если решение уравнения (0.1) с ядром h(τ ) = |τ |−γ , 0 < γ < 1,
удовлетворяет условию ϕ∗ ∈ H α [−1, 1], 0 < α 6 1, то при α + γ > 1
приближенное решение (1.3∗ ) сходится к точному решению ϕ∗ (t) со
скоростью
         max(kϕ∗ − ϕ∗n k2 ,         ϕ∗ − ϕ
                                   k~    ~ ∗n k3 ) = H(ϕ∗ ; α) · O (n1−α−γ );    (1.38)
если же ϕ∗ ∈ H2α , а γ < 1/2, то и со скоростью
         max(kϕ∗ − ϕ∗n k2 ,        ϕ∗ − ϕ
                                  k~    ~ ∗n k3 ) = H(ϕ∗ ; α)2 · O (n1−α−γ ).    (1.39)
    б) Если решение уравнения (0.1) с ядром h(τ ) = ln |τ | удовлетво-
ряет условию ϕ∗ ∈ H2α [−1, 1], 0 < α 6 1, то справедлива оценка 1)
             max(kϕ∗ − ϕ∗n k2 ,      ϕ∗ − ϕ
                                    k~    ~ ∗n k3 ) = H(ϕ∗ ; α)2 · O (n1−α ),    (1.40)
где H(ϕ; α) и H(ψ; α)2 – наименьшие постоянные условий Гëльдера
функций ϕ ∈ H α и ψ ∈ F2α в пространствах соответственно H α =
= Lip α и H2α = Lip (α, 2) (0 < α 6 1) .
     Замечание 1.2. Приведенные выше результаты справедливы лишь
в случае, если точное решение с.и.у. (0.1) удовлетворяет условию ϕ∗ ∈
L2 [−1, 1] . Если же решение ϕ∗ ∈
                                / L2 [−1, 1] , то согласно теории с.и.у.
(0.1) его, как правило, можно представить в виде
                                  ϕ∗ (t) = ψ ∗ (t) (1 − t2 )−1/2 ,               (1.41)
   1)   Здесь, как и выше, ϕ ~∗ − ϕ~ ∗n есть n –мерный вектор с координатами ϕ∗ (t̄k ) −
ϕ∗n (t̄k )    ∗         ∗
          = ϕ (t̄k ) − αk , k = 1, n..

                                                95