Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

обратной к ней матрицы справедлива оценка
kA
−1
n
k
3
= O (n); (2.4)
для остальных ядер из (0.4), (0.5) аналогично доказывается, что
kA
−1
n
k
3
= O (n
1−γ
), 0 < γ < 1 . (2.5)
Заметим, что неравенства (2.4) и (2.5) хорошо согласуются с оцен-
ками соответственно (1.37) и (1.36) для непериодического случая. По-
этому для уравнения (2.1) метод сплайн–коллокации нулевого порядка
приводит к результатам, вполне аналогичным теоремам 1.1 – 1.4. Од-
нако здесь на подробных формулировках останавливаться не будем,
а рассмотрим, хотя бы вкратце, метод сплайн–подобластей нулевого
порядка.
Приближенное решение уравнения (2.1) будем искать в виде сплай-
на
x
n
(s) =
n
X
k=1
β
k
ψ
k
(s), −∞ < s < ∞, (2.6)
где ψ
k
(s) суть 2π–периодические характеристические функции ин-
тервалов (s
k−1
, s
k
] . Неизвестные коэффициенты будем определять из
условий
Z
∆
j
G(x
n
; s) ds =
Z
∆
j
y(s) ds , j = 1, n, ∆
j
= [s
j−1
, s
j
] , (2.7)
где узлы s
j
определены в (2.2). Эти условия эквивалентны СЛАУ
n
X
k=1
α
j−k
β
k
= y
j
, j = 1, n, (2.8)
где
y
j
=
Z
∆
j
y(s) ds, α
j−k
=
Z
∆
j
G(ψ
k
; s) ds, ∆
j
= [s
j−1
, s
j
]. (2.9)
С учетом свойств функции g(σ) легко показать, что
α
j−k
=
1
2π
Z
∆
j
ds
Z
∆
k
g(|s − σ|) dσ =
1
2π
Z
∆
k−j
ds
Z
s+δ
s
g(|σ|) dσ=α
k−j
.
(2.10)
Таким образом, матрица СЛАУ (2.8) является симметричной и
теплицевой, а это значительно облегчает исследование метода сплайн–
подобластей. Для иллюстрации приведем следующие результаты.
97
обратной к ней матрицы справедлива оценка
                                         kA−1
                                           n k3 = O (n);                                 (2.4)
для остальных ядер из (0.4), (0.5) аналогично доказывается, что
                            kA−1
                              n k3 = O (n
                                         1−γ
                                             ),              0 < γ < 1.                  (2.5)
    Заметим, что неравенства (2.4) и (2.5) хорошо согласуются с оцен-
ками соответственно (1.37) и (1.36) для непериодического случая. По-
этому для уравнения (2.1) метод сплайн–коллокации нулевого порядка
приводит к результатам, вполне аналогичным теоремам 1.1 – 1.4. Од-
нако здесь на подробных формулировках останавливаться не будем,
а рассмотрим, хотя бы вкратце, метод сплайн–подобластей нулевого
порядка.
    Приближенное решение уравнения (2.1) будем искать в виде сплай-
на                       n
                         X
                xn (s) =    βk ψk (s), −∞ < s < ∞,               (2.6)
                                       k=1
где ψk (s) суть 2π–периодические характеристические функции ин-
тервалов (sk−1 , sk ] . Неизвестные коэффициенты будем определять из
условий
     Z                   Z
         G(xn ; s) ds =      y(s) ds , j = 1, n, ∆j = [sj−1 , sj ] , (2.7)
       ∆j                         ∆j

где узлы sj определены в (2.2). Эти условия эквивалентны СЛАУ
                                 n
                                 X
                                       αj−k βk = yj ,        j = 1, n,                   (2.8)
                                 k=1
где
             Z                               Z
      yj =            y(s) ds,    αj−k =              G(ψk ; s) ds, ∆j = [sj−1 , sj ].   (2.9)
                 ∆j                              ∆j

    С учетом свойств функции g(σ) легко показать, что
             Z     Z                   Z      Z s+δ
           1                         1
   αj−k =        ds g(|s − σ|) dσ =        ds      g(|σ|) dσ =αk−j .
          2π ∆j ∆k                  2π ∆k−j s
                                                                (2.10)
    Таким образом, матрица СЛАУ (2.8) является симметричной и
теплицевой, а это значительно облегчает исследование метода сплайн–
подобластей. Для иллюстрации приведем следующие результаты.

                                                      97

Страницы