Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 2.1. Пусть ядро g(σ) ∈ L
1
[0, 2π] таково, что его коси-
нус–коэффициенты Фурье неотрицательны и уравнение (2.1) имеет
решение x
∗
(s) ∈ L
2
[0, 2π] хотя бы при данной правой части y(s) ∈
L
2
[0, 2π]. Тогда решение уравнения (2.1) единственно и для любых
n ∈ N СЛАУ (2.8), (2.9) имеет единственное решение β
∗
1
, . . . , β
∗
n
при любых правых частях.
Доказательство. Уравнение (2.1) будем рассматривать как опе-
раторное уравнение вида
Gx = y ( x, y ∈ L
2
[0, 2π] ), (2.1
0
)
где G – симметричный оператор. Для любой x ∈ L
2
, как и в разделе
1.1 гл. I, имеем
(Gx, x) =
∞
X
k=−∞
|c
k
(x)|
2
c
k
(g),
где c
k
(x) и c
k
(g) – комплексные коэффициенты Фурье функций x(s)
и g(s) . В условиях теоремы легко видеть, что
c
k
(g) =
1
2π
Z
2π
0
g(σ) e
−ikσ
dσ =
1
π
Z
π
0
g(σ) cosk σ dσ > 0 (2.11)
для любых k = 0, ±1, . . . Поэтому оператор G : L
2
−→ L
2
явля-
ется положительным. Отсюда заключаем, что уравнение (2.1) имеет
единственное решение при данной правой части y ∈ L
2
. Пусть X
n
⊂
L
2
[0, 2π] есть подпространство всех 2π–периодических сплайнов нуле-
вого порядка с узлами s
k
, k = 0, n , из (2.2). Поскольку dim X
n
= n < ∞,
то в силу сказанного оператор G на X
n
будет положительно опреде-
ленным:
(Gx
n
, x
n
) > γ
2
n
(x
n
, x
n
), x
n
∈ X
n
, (2.12)
где γ
2
n
= const > 0 и не зависит от x
n
∈ X
n
, но, вообще говоря,
зависит от n .
Обозначим через S
n
: L
2
−→ X
n
оператор, определяемый по
формуле
S
n
(x; s) =
n
2π
n
X
k=1
ψ
k
(s)
Z
s
k
s
k−1
x(σ) dσ, s
k
=
2kπ
n
, x ∈ L
2
. (2.13)
Тогда СЛАУ (2.8), (2.9) эквивалентна операторному уравнению
G
n
x
n
≡ S
n
Gx
n
= S
n
y ( x
n
, S
n
y ∈ X
n
). (2.8
0
)
Легко показать, что S
n
является оператором ортогонального проекти-
рования на подпространство X
n
⊂ L
2
. Поэтому для любого x
n
∈ X
n
98
      Теорема 2.1. Пусть ядро g(σ) ∈ L1 [0, 2π] таково, что его коси-
нус–коэффициенты Фурье неотрицательны и уравнение (2.1) имеет
решение x∗ (s) ∈ L2 [0, 2π] хотя бы при данной правой части y(s) ∈
L2 [0, 2π]. Тогда решение уравнения (2.1) единственно и для любых
n ∈ N СЛАУ (2.8), (2.9) имеет единственное решение β1∗ , . . . , βn∗
при любых правых частях.
    Доказательство. Уравнение (2.1) будем рассматривать как опе-
раторное уравнение вида
                        Gx = y ( x, y ∈ L2 [0, 2π] ),            (2.10 )
где G – симметричный оператор. Для любой x ∈ L2 , как и в разделе
1.1 гл. I, имеем
                            X∞
                  (Gx, x) =     |ck (x)|2 ck (g),
                                  k=−∞
где ck (x) и ck (g) – комплексные коэффициенты Фурье функций x(s)
и g(s) . В условиях теоремы легко видеть, что
                  Z 2π                   Z π
               1                       1
     ck (g) =          g(σ) e−ikσ dσ =       g(σ) cosk σ dσ > 0 (2.11)
              2π 0                     π 0
для любых k = 0, ±1, . . . Поэтому оператор G : L2 −→ L2 явля-
ется положительным. Отсюда заключаем, что уравнение (2.1) имеет
единственное решение при данной правой части y ∈ L2 . Пусть Xn ⊂
L2 [0, 2π] есть подпространство всех 2π–периодических сплайнов нуле-
вого порядка с узлами sk , k = 0, n , из (2.2). Поскольку dim Xn = n < ∞ ,
то в силу сказанного оператор G на Xn будет положительно опреде-
ленным:
                    (Gxn , xn ) > γn2 (xn , xn ), xn ∈ Xn ,       (2.12)
где γn2 = const > 0 и не зависит от xn ∈ Xn , но, вообще говоря,
зависит от n .
     Обозначим через S n : L2 −→ Xn оператор, определяемый по
формуле
                    n        Z sk
                  n X                            2kπ
    S n (x; s) =      ψk (s)       x(σ) dσ, sk =     , x ∈ L2 . (2.13)
                 2π           sk−1                n
                  k=1

Тогда СЛАУ (2.8), (2.9) эквивалентна операторному уравнению
               Gn xn ≡ S n Gxn = S n y ( xn , S n y ∈ Xn ).      (2.80 )
Легко показать, что S n является оператором ортогонального проекти-
рования на подпространство Xn ⊂ L2 . Поэтому для любого xn ∈ Xn

                                     98

Страницы