Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 101 стр.

то в силу (2.19) имеем
               kx∗ − x∗n k2 6 (1 + γn−2 kGk2 ) kx∗ − S n x∗ k2 .
Отсюда и из аналога неравенств (1.30) в периодическом случае нахо-
дим
             kx∗ − x∗n k2 6 (1 + γn−2 kGk2 ) ω(x∗ ; 2π/n)2 . (2.20)
Из (2.20) и (2.17) следует требуемое утверждение:
           kx∗ − x∗n k2 6 (1 + 2 π) (1 + γn−2 kGk2 ) ω(x∗ ; 1/n)2 =
                      = O {γn−2 ω(x∗ ; 1/n)2 } = o(1).                (2.180 )
    Теперь применим метод сплайн–подобластей к полному уравне-
нию вида
                Ax ≡ Gx + T x = y ( x, y ∈ L2 ),        (2.21)
где оператор G определен в (2.1), а
                Z 2π
              1
       Tx ≡          h(s, σ)x(σ) dσ, h(s, σ) ∈ L2 [0, 2π]2 .          (2.22)
             2π 0
     Приближенное решение уравнения (2.21) ищем в виде сплайна
(2.6), коэффициенты β1 , β2 , . . . , βn которого определяем из условий
      Z                  Z
          A(xn ; s) ds =   y(s) ds, j = 1, n, ∆j = [sj−1 , sj ],   (2.23)
      ∆j                 ∆j

где узлы определены в (2.2). Ясно, что условия (2.23) эквивалентны,
с одной стороны, СЛАУ порядка n относительно β1 , β2 , . . ., βn , с
другой стороны, они эквивалентны операторному уравнению вида
        An xn ≡ S n Gxn + S n T xn = S n y ( xn , S n y ∈ Xn ),       (2.24)
заданному в подпространстве Xn = L({ψk (s)}n1 ) ⊂ L2 , где оператор
S n определен в (2.13).
     Для схемы (2.21) – (2.24) справедлива следующая
     Теорема 2.3. Пусть функции g(s) ∈ L1 [0, 2π], y(s) ∈ L2 [0, 2π] ,
h(s, σ) ∈ L2 [0, 2π]2 таковы, что выполнены условия теоремы 2.1 и
              а) G−1 y ∈ L2 ,   σn ≡ ω(G−1 y; 1/n)2 = o(γn2 ),
      б) ρn ≡ sup{ω(G−1 T u; 1/n)2 : u ∈ L2 , kuk2 6 1} = o(γn2 ),
где γn2 определено в теореме 2.1. Если уравнение (2.21) при y = 0
имеет в L2 лишь тривиальное решение, то при всех n, начиная с

                                      100