Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2.2. Схема метода сплайн–коллокации первого порядка.
Для простоты выкладок этот метод будем рассматривать для нечет-
ного числа узлов
s
k
=
2kπ
2n + 1
= kδ, δ =
2π
2n + 1
, k = −n, n. (2.28)
Обозначим через {ϕ
k
(s)}
n
−n
систему 2π–периодических фундаменталь-
ных сплайнов первого порядка по системе узлов (2.28). Известно, что
ϕ
k
(s) = ϕ
0
(s − s
k
), ϕ
k
(−s) = ϕ
k
(s), ϕ
k
(s + 2πj) = ϕ
k
(s), k = −n, n,
j = ±1, ±2, . . . , ϕ
0
(s) = {1−|s/δ| при s ∈ [−δ, δ] ; 0 при s /∈ [−δ, δ] }.
Приближенное решение уравнения (0.2) будем искать в виде сплай-
на
x
n
(s) =
n
X
k=−n
α
k
ϕ
k
(s), −∞ < s < ∞, (2.29)
коэффициенты которого определяются из условий G(x
n
; s
j
) = y(s
j
) ,
j = −n, n . Эти условия эквивалентны СЛАУ
n
X
k=−n
b
j−k
α
k
= y
j
, j = −n, n, y
j
= y(s
j
), b
j−k
= G(ϕ
k
; s
j
). (2.30)
С учетом четности и периодичности функций g(σ) и ϕ
k
(s) по-
следовательно находим
b
j−k
= G(ϕ
k
; s
j
) =
1
2π
Z
s
k+1
s
k−1
g(|s
j
− σ|) ϕ
0
(σ − s
k
) dσ =
=
1
2π
Z
δ
−δ
g(|s
j
−s
k
−σ|)ϕ
0
(σ) dσ =
1
2π
Z
δ
−δ
g(|s
j
−s
k
−σ|) (1−|σ/δ|) dσ =
=
1
2π
Z
δ
0
{g(|(j−k)δ+σ|)+g(|(k−j)δ+σ|) }(1−σ/δ) dσ = b
k−j
. (2.31)
Поэтому матрица B
n
= [b
j−k
]
k=−n,n
j=−n,n
СЛАУ (2.30) является симмет-
ричной и теплицевой. Предположим, что она является невырожденной
хотя бы при n > n
0
. Тогда в любой норме, согласованной с нормой
(2n + 1)–мерного пространства векторов, имеем
0 < kB
−1
n
k
i
≡ τ
n,i
< ∞ ( n > n
0
; i = 1, 2, 3 ). (2.32)
А тогда СЛАУ (2.30) имеет единственное решение {α
∗
k
}
n
−n
и прибли-
женные решения x
∗
n
(s) (т.е. (2.29) при α
k
= α
∗
k
) существуют при всех
n > n
0
. В следующем пункте устанавливаются условия его сходимости
и оценки погрешности в общем случае.
102
     2.2. Схема метода сплайн–коллокации первого порядка.
Для простоты выкладок этот метод будем рассматривать для нечет-
ного числа узлов
                         2kπ                         2π
                 sk =          = kδ,       δ=             , k = −n, n.   (2.28)
                        2n + 1                     2n + 1
Обозначим через {ϕk (s)}n−n систему 2π–периодических фундаменталь-
ных сплайнов первого порядка по системе узлов (2.28). Известно, что
ϕk (s) = ϕ0 (s − sk ), ϕk (−s) = ϕk (s), ϕk (s + 2πj) = ϕk (s), k = −n, n,
j = ±1, ±2, . . . , ϕ0 (s) = {1−|s/δ| при s ∈ [−δ, δ] ; 0 при s ∈
                                                                / [−δ, δ] }.
      Приближенное решение уравнения (0.2) будем искать в виде сплай-
на                             n
                               X
                    xn (s) =          αk ϕk (s),     −∞ < s < ∞,         (2.29)
                               k=−n
коэффициенты которого определяются из условий G(xn ; sj ) = y(sj ) ,
j = −n, n . Эти условия эквивалентны СЛАУ
     n
     X
            bj−k αk = yj , j = −n, n, yj = y(sj ), bj−k = G(ϕk ; sj ).   (2.30)
     k=−n

     С учетом четности и периодичности функций g(σ) и ϕk (s) по-
следовательно находим
                                  Z sk+1
                                1
         bj−k = G(ϕk ; sj ) =            g(|sj − σ|) ϕ0 (σ − sk ) dσ =
                               2π sk−1
      Z                                   Z
   1 δ                                 1 δ
=         g(|sj − sk − σ|)ϕ0 (σ) dσ =         g(|sj − sk − σ|) (1 − |σ/δ|) dσ =
  2π −δ                               2π −δ
        Z δ
     1
 =          {g(|(j −k)δ+σ|)+g(|(k−j)δ+σ|) } (1−σ/δ) dσ = bk−j . (2.31)
    2π 0
Поэтому матрица Bn = [bj−k ]k=−n,n
                             j=−n,n
                                    СЛАУ (2.30) является симмет-
ричной и теплицевой. Предположим, что она является невырожденной
хотя бы при n > n0 . Тогда в любой норме, согласованной с нормой
(2n + 1)–мерного пространства векторов, имеем
                0 < kBn−1 ki ≡ τn,i < ∞ ( n > n0 ; i = 1, 2, 3 ).        (2.32)
А тогда СЛАУ (2.30) имеет единственное решение {αk∗ }n−n и прибли-
женные решения x∗n (s) (т.е. (2.29) при αk = αk∗ ) существуют при всех
n > n0 . В следующем пункте устанавливаются условия его сходимости
и оценки погрешности в общем случае.

                                           102

Страницы