Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2.3. Некоторые общие результаты. Здесь нам понадобятся
оператор сплайн–интерполяции первого порядка
S
n
f = S
1
n
(f; s) =
n
X
k=−n
f(s
k
) ϕ
k
(s), f ∈ C
2π
, (2.33)
и вектор погрешности ε = ~x
∗
− ~x
∗
n
с компонентами ε
k
= x
∗
(s
k
) −
−x
∗
n
(s
k
) = x
∗
(s
k
) − α
∗
k
, k = −n, n .
Теорема 2.4. Пусть b =
1
π
π
R
0
|g(σ)|dσ < ∞ и выполнены усло-
вия (2.32). Если уравнение (2.1) имеет такое решение x
∗
∈ C
2π
, что
при n → ∞
τ
n,i
kx
∗
− S
n
x
∗
k
∞
= o(1), i = 1, 3, (2.34)
то приближенные решения x
∗
n
(s) сходятся к точному решению x
∗
(s)
со скоростью
kεk
i
= O {τ
n,i
kx
∗
− S
n
x
∗
k
∞
}, i = 1, 3. (2.35)
Доказательство. Поскольку G(x
∗
; s
j
) = G(x
∗
n
; s
j
), j = −n, n ,
то справедливы соотношения
G(x
∗
n
− S
n
x
∗
; s
j
) = G(x
∗
− S
n
x
∗
; s
j
), j = −n, n. (2.36)
Ясно, что
G(x
∗
n
− S
n
x
∗
; s
j
) =
n
X
k=−n
[α
∗
k
− x
∗
(s
k
)] G(ϕ
k
; s
j
) , j = −n, n.
Отсюда и из (2.31) следует, что (2.36) можно представить в виде
n
X
k=−n
b
j−k
ε
k
= r
j
, j = −n, n, (2.37)
где r
j
= −G(x
∗
− S
n
x
∗
; s
j
) , или же в векторном виде
B
n
ε = r, ε = {ε
k
}
n
−n
, r = {r
j
}
n
−n
. (2.37
0
)
Тогда в силу (2.32) имеем
kεk
i
6 kB
−1
n
k
i
krk
i
= τ
n,i
krk
i
, i = 1, 3. (2.38)
С учетом периодичности функции g(σ) ∈ L
1
[0, 2π] легко пока-
зать, что для нормы оператора G в C
2π
имеем kGk
∞
= b < ∞.
Поэтому для вектора r в любой из трех используемых здесь норм
имеем
krk
1
= max
−n6j6n
|r
j
| = max
−n6j6n
|G(x
∗
− S
n
x
∗
; s
j
)| 6
103
    2.3. Некоторые общие результаты. Здесь нам понадобятся
оператор сплайн–интерполяции первого порядка
                                n
                                X
                    1
            Sn f = Sn (f ; s) =   f (sk ) ϕk (s), f ∈ C2π , (2.33)
                                      k=−n

и вектор погрешности ε = ~x∗ − ~x∗n с компонентами εk = x∗ (sk ) −
−x∗n (sk ) = x∗ (sk ) − αk∗ , k = −n, n .
                                        1
                                            Rπ
    Теорема 2.4. Пусть b =              π        |g(σ)| dσ < ∞ и выполнены усло-
                                            0
вия (2.32). Если уравнение (2.1) имеет такое решение x∗ ∈ C2π , что
при n → ∞
                  τn,i kx∗ − Sn x∗ k∞ = o(1), i = 1, 3,       (2.34)
то приближенные решения x∗n (s) сходятся к точному решению x∗ (s)
со скоростью
                 kεki = O {τn,i kx∗ − Sn x∗ k∞ },          i = 1, 3.              (2.35)
     Доказательство. Поскольку G(x∗ ; sj ) = G(x∗n ; sj ), j = −n, n ,
то справедливы соотношения
        G(x∗n − Sn x∗ ; sj ) = G(x∗ − Sn x∗ ; sj ),       j = −n, n.              (2.36)
Ясно, что
                                n
                                X
     G(x∗n         ∗
             − Sn x ; sj ) =        [αk∗ − x∗ (sk )] G(ϕk ; sj ) ,   j = −n, n.
                               k=−n

Отсюда и из (2.31) следует, что (2.36) можно представить в виде
                         n
                         X
                                bj−k εk = rj ,      j = −n, n,                    (2.37)
                        k=−n

где rj = −G(x∗ − Sn x∗ ; sj ) , или же в векторном виде
                    Bn ε = r,      ε = {εk }n−n , r = {rj }n−n .              (2.370 )
Тогда в силу (2.32) имеем
                 kεki 6 kBn−1 ki krki = τn,i krki ,        i = 1, 3.              (2.38)
     С учетом периодичности функции g(σ) ∈ L1 [0, 2π] легко пока-
зать, что для нормы оператора G в C2π имеем kGk∞ = b < ∞ .
Поэтому для вектора r в любой из трех используемых здесь норм
имеем
           krk1 = max |rj | = max |G(x∗ − Sn x∗ ; sj )| 6
                       −n6j6n           −n6j6n

                                            103

Страницы