ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
следующей леммы (снова при f(s) = x
∗
(s) − x
∗
n
(s) ), имеющей также
определенный самостоятельный интерес:
Лемма 2.2. Для любой функции f(s) ∈ C
2π
справедливы нера-
венства
√
3
3
k
~
f k
3
6 kS
n
fk
2
6 k
~
f k
3
, n ∈ N, (2.49)
где
~
f = (f(s
−n
), . . . , f(s
0
), . . . , f(s
n
)) , а
k
~
f k
3
=
(
1
2n + 1
n
X
k=−n
|f(s
k
)|
2
)
1/2
, kfk
2
=
½
1
2π
Z
π
−π
|f(s)|
2
ds
¾
1/2
.
Для доказательства (2.49) заметим, что в силу формулы (2.33)
для любой f ∈ C
2π
имеем
2π kS
n
(f; s)k
2
2
=
n
X
k=−n
n
X
j=−n
f
k
f
j
Z
π
−π
ϕ
k
(s)ϕ
j
(s) ds =
=
n
X
k=−n
f
2
k
Z
π
−π
ϕ
2
k
(s) ds +
X
k6=j
f
k
f
j
Z
π
−π
ϕ
k
(s)ϕ
j
(s) ds, (2.50)
где f
l
= f(s
l
), l = −n, n . Используя периодичность и финитность
функций ϕ
l
(s) , последовательно находим
Z
π
−π
ϕ
2
k
(s) ds =
Z
s
k
s
k−1
(
s − s
k−1
δ
)
2
ds +
Z
s
k+1
s
k
(
s
k+1
− s
δ
)
2
ds =
2
3
δ;
X
k6=j
f
k
f
j
Z
π
−π
ϕ
k
(s)ϕ
j
(s) ds =
n
X
k=−n
[f
k−1
f
k
Z
π
−π
ϕ
k−1
(s)ϕ
k
(s) ds+
+f
k
f
k+1
Z
π
−π
ϕ
k
(s)ϕ
k+1
(s) ds ] =
n
X
k=−n
[f
k−1
f
k
Z
s
k
s
k−1
ϕ
k−1
(s)ϕ
k
(s) ds+
+f
k
f
k+1
Z
s
k+1
s
k
ϕ
k
(s)ϕ
k+1
(s) ds ] =
δ
2
n
X
k=−n
(f
k−1
f
k
+ f
k
f
k+1
). (2.51)
Из (2.50) – (2.51) следует формула
kS
n
(f; s)k
2
2
=
1
2n + 1
n
X
k=−n
f
k
·
f
k−1
+ 4f
k
+ f
k+1
6
≡ σ. (2.52)
Для вектора
~
f = {f
k
}
n
−n
, f
k
= f(s
k
) , в силу (2.52) и неравенства
Буняковского с учетом соотношений f
k+N
= f
k
, N = 2n + 1 , находим
105
следующей леммы (снова при f (s) = x∗ (s) − x∗n (s) ), имеющей также
определенный самостоятельный интерес:
Лемма 2.2. Для любой функции f (s) ∈ C2π справедливы нера-
венства √
3 ~
kf k3 6 kSn f k2 6 kf~ k3 , n ∈ N, (2.49)
3
где f~ = (f (s−n ), . . . , f (s0 ), . . . , f (sn )) , а
( n
)1/2 ½ Z π ¾1/2
1 X 1
kf~ k3 = |f (sk )| 2
, kf k2 = 2
|f (s)| ds .
2n + 1 2π −π
k=−n
Для доказательства (2.49) заметим, что в силу формулы (2.33)
для любой f ∈ C2π имеем
n
X Xn Z π
2
2π kSn (f ; s)k2 = fk fj ϕk (s)ϕj (s) ds =
k=−n j=−n −π
n
X Z π X Z π
= fk2 ϕ2k (s) ds + fk fj ϕk (s)ϕj (s) ds, (2.50)
k=−n −π k6=j −π
где fl = f (sl ), l = −n, n . Используя периодичность и финитность
функций ϕl (s) , последовательно находим
Z π Z sk Z sk+1
s − s k−1 2 sk+1 − s 2 2
ϕ2k (s) ds = ( ) ds + ( ) ds = δ;
−π sk−1 δ sk δ 3
X Z π X n Z π
fk fj ϕk (s)ϕj (s) ds = [fk−1 fk ϕk−1 (s)ϕk (s) ds+
k6=j −π k=−n −π
Z π n
X Z sk
+fk fk+1 ϕk (s)ϕk+1 (s) ds ] = [fk−1 fk ϕk−1 (s)ϕk (s) ds+
−π k=−n sk−1
Z n
sk+1
δ X
+fk fk+1 ϕk (s)ϕk+1 (s) ds ] = (fk−1 fk + fk fk+1 ). (2.51)
sk 2
k=−n
Из (2.50) – (2.51) следует формула
n
X
12 fk−1 + 4fk + fk+1
kSn (f ; s)k2 = fk · ≡ σ. (2.52)
2n + 1 6
k=−n
Для вектора f~ = {fk }n−n , fk = f (sk ) , в силу (2.52) и неравенства
Буняковского с учетом соотношений fk+N = fk , N = 2n + 1 , находим
105
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- …
- следующая ›
- последняя »
