Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

оценки сверху
σ =
2
3
·
1
2n + 1
n
X
k=−n
f
2
k
+
1
6
·
1
2n + 1
n
X
k=−n
f
k
(f
k−1
+ f
k+1
) 6
6
2
3
·
1
2n + 1
n
X
k=−n
f
2
k
+
1
6
(
1
2n + 1
n
X
k=−n
f
2
k
)
1/2
×
×
(
1
2n + 1
n
X
k=−n
(f
k−1
+ f
k+1
)
2
)
1/2
6
2
3
k
~
fk
2
3
+
1
6
k
~
fk
3
· 2 k
~
fk
3
= k
~
fk
2
3
.
(2.53)
С другой стороны, из (2.52) аналогично находим оценки снизу
σ >
2
3
k
~
fk
2
3
−
1
6
|
1
2n + 1
n
X
k=−n
f
k
(f
k−1
+ f
k+1
)| >
>
2
3
k
~
fk
3
2
−
1
3
k
~
fk
3
2
=
1
3
k
~
fk
3
2
. (2.53
0
)
Из (2.52), (2.53) и (3.53
0
) следуют неравенства (3.49).
Из (2.44) и (2.34), (2.35) при i = 1 получаем утверждение след-
ствия 1. Докажем следствие 2. В силу (2.37) и (2.38) последовательно
находим
kεk
3
6 kB
−1
n
k
3
krk
3
6 τ
n,3
max
−n6j6n
|G(x
∗
− S
n
x
∗
; s
j
)| 6
6 τ
n,3
kG(x
∗
− S
n
x
∗
)k
∞
6 τ
n,3
kGk
2→∞
· kx
∗
− S
n
x
∗
k
2
=
= O {τ
n,3
kx
∗
− S
n
x
∗
k
2
}. (2.54)
Поэтому из (2.47) при X = L
2
и (2.49) следует оценка (2.46), откуда
с учетом (2.34) при i = 3 следует утверждение следствия 2.
Теорема 2.5 и ее следствия доказаны полностью.
2.4. Приложения к конкретным уравнениям. Сначала рас-
смотрим два частных случая:
Gx ≡
1
2π
π
Z
−π
¯
¯
¯
¯
sin
s − σ
2
¯
¯
¯
¯
−γ
x(σ) dσ = y(s), 0 < γ < 1 , y ∈ C
2π
,
(2.55)
Gx ≡ −
1
2π
π
Z
−π
ln
¯
¯
¯
¯
sin
s − σ
2
¯
¯
¯
¯
· x(σ) dσ = y(s), y ∈ C
2π
. (2.56)
106
оценки сверху
                    n
                    X              n
                                   X
           2   1       2  1   1
         σ= ·         fk + ·         fk (fk−1 + fk+1 ) 6
           3 2n + 1       6 2n + 1
                             k=−n                      k=−n

                        n
                                                 (          n
                                                                    )1/2
               2   1    X       1                      1    X
              6 ·         fk2 +                               fk2          ×
               3 2n + 1         6                    2n + 1
                                 k=−n                      k=−n

     (            n
                                         )1/2
           1      X                 2        1
 ×                                6 kf~k23 + kf~k3 · 2 kf~k3 = kf~k23 .
                       (fk−1 + fk+1 )2
         2n + 1                     3        6
            k=−n
                                                                (2.53)
С другой стороны, из (2.52) аналогично находим оценки снизу
                                      n
                                      X
                     2 ~ 2 1     1
                  σ > kf k3 − |         fk (fk−1 + fk+1 )| >
                     3       6 2n + 1
                                                k=−n

                        2         1        1
                     > kf~k3 2 − kf~k3 2 = kf~k3 2 .          (2.530 )
                        3         3        3
                             0
    Из (2.52), (2.53) и (3.53 ) следуют неравенства (3.49).
    Из (2.44) и (2.34), (2.35) при i = 1 получаем утверждение след-
ствия 1. Докажем следствие 2. В силу (2.37) и (2.38) последовательно
находим
           kεk3 6 kBn−1 k3 krk3 6 τn,3 max |G(x∗ − Sn x∗ ; sj )| 6
                                            −n6j6n

           6 τn,3 kG(x∗ − Sn x∗ )k∞ 6 τn,3 kGk2→∞ · kx∗ − Sn x∗ k2 =
                                = O {τn,3 kx∗ − Sn x∗ k2 }.                    (2.54)
Поэтому из (2.47) при X = L2 и (2.49) следует оценка (2.46), откуда
с учетом (2.34) при i = 3 следует утверждение следствия 2.
     Теорема 2.5 и ее следствия доказаны полностью.
    2.4. Приложения к конкретным уравнениям. Сначала рас-
смотрим два частных случая:
            Zπ ¯       ¯
          1    ¯ s − σ ¯−γ
   Gx ≡        ¯sin    ¯ x(σ) dσ = y(s), 0 < γ < 1, y ∈ C2π ,
         2π ¯       2 ¯
                  −π
                                                                               (2.55)
                       Zπ       ¯      ¯
                   1            ¯ s − σ¯
     Gx ≡ −                 ln ¯¯sin   ¯ · x(σ) dσ = y(s),        y ∈ C2π .    (2.56)
                  2π                 2 ¯
                       −π

                                            106

Страницы