Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 109 стр.

здесь
                                Z   sk+1
                            1                                     h(sj , ξk )
    yj = y(sj ),   hjk   =                 h(sj , σ)ϕk (σ) dσ =               ,   (2.61)
                           2π   sk−1                               2n + 1
где коэффициенты bj−k определены в (3.30) и (3.31) при g(σ) =
= − ln|sin(σ/2)| , узлы sj , sk — в (3.28), а ξk ∈ [sk−1 , sk+1 ] .
     Теорема 2.7. Пусть y(s) ∈ W 2 H α и h(s, σ) ∈ W 2 H α (0 < α 6 1)
по переменной s равномерно относительно σ . Если уравнение (2.59)
однозначно разрешимо в L2 при любой правой части из W21 , то при
всех n, начиная с некоторого, СЛАУ (2.60), (2.61) имеет единствен-
ное решение {αk∗ }n−n . Приближенные решения x∗n (s) (т.е. (2.29) при
αk = αk∗ ) сходятся в среднем к точному решению x∗ (s) со скоростью
                   kx∗ − x∗n k2 = O (n−α ),          0 < α 6 1.                   (2.62)

    Доказательство. В силу результатов §1 гл. I уравнение (2.59)
можно записать в пространстве X = L2 [−π, π] в виде эквивалентного
операторного уравнения
              Kx ≡ x + G−1 T x = G−1 y ( x, G−1 y ∈ L2 ),                         (2.63)
где операторы G−1 : W21 −→ L2 и T : L2 −→ W21 определены в §1
гл. I и соответственно в (2.22). Ясно, что в условиях теоремы оператор
K : L2 −→ L2 непрерывно обратим.
      Обозначим через Xn = L({ϕk }n−n ) подпространство 2π–перио-
дических сплайнов первого порядка с узлами (2.28). Очевидно, что
Xn ⊂ L2 , а СЛАУ (2.60), (2.61) эквивалентна заданному в Xn опера-
торному уравнению
            An xn ≡ Gn xn + Sn T xn = Sn y ( xn , Sn y ∈ Xn ),                    (2.64)
где Gn xn = Sn Gxn , причем оператор Sn = Sn1 определен в (2.33).
В силу сказанного выше уравнение (2.64) эквивалентно операторному
уравнению
    Kn xn ≡ xn + G−1           −1             −1
                  n Sn T xn = Gn Sn y ( xn , Gn Sn y ∈ Xn ).                      (2.65)
     Поскольку y ∈ W 2 H α (0 < α 6 1) , то в силу леммы 1.2 гл. I
и известных теорем Привалова и Зигмунда о свойствах сопряженных
функций (см., напр., [4, 66]) имеем
                                       µ         ¶
                 d −1               d    dy(σ)
                   G (y; s) = −2 I             ;s =
                ds                  ds    dσ

                                            108