Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 111 стр.

     Замечание 2.3. Результаты по методу сплайн–коллокации пер-
вого порядка, аналогичные теоремам 2.4 – 2.7 и лемме 2.2, можно по-
лучить также для уравнения (0.1).
     2.5. Метод сплайн–квадратур. Этот метод рассмотрим при-
менительно к уравнению (2.59). Его приближенное решение будем ис-
кать в виде сплайна (2.29), коэффициенты α−n , . . . , αn которого будем
определять из СЛАУ
      n
      X                       n
                              X
                         1
             bj−k αk +          h(sj , sk ) αk = y(sj ),                   j = −n, n,    (2.69)
                       2n + 1
      k=−n                         k=−n

где bj−k определены в (2.31) при g(σ) = − ln | sin(σ/2)| , а узлы – в
(2.28).
     Для вычислительной схемы метода квадратур (2.59), (2.29), (2.69)
справедлива следующая
     Теорема 2.8. Пусть в условиях теоремы 2.7 ∂ i h(s, σ)/∂si ∈
H α (0 < α 6 1; i = 0, 1, 2 ) по переменной σ равномерно относи-
                                                         ∗
тельно s. Тогда СЛАУ (2.69) имеет единственное решение α−n , . . . , αn∗
хотя бы при достаточно больших n. Приближенные решения
                                   n
                                   X
                     e∗n (s)
                     x         =          αk∗ ϕk (s),          −∞ < s < ∞,              (2.29∗ )
                                   k=−n

сходятся к точному решению x∗ (s) в среднем со скоростью
                              e∗n k2 = O (n−α ),
                        kx∗ − x                                  0 < α 6 1.              (2.70)

     Доказательство. В обозначениях предыдущей теоремы СЛАУ
(2.69) эквивалентна заданному в подпространстве Xn ⊂ L2 оператор-
ному уравнению
                 en xn ≡ Gn xn + Tn xn = Sn y ( xn , Sn y ∈ Xn ) ,
                 A                                                                       (2.71)
где                                                   Z   π
                                            Sn
                µ n = T n xn ,     µn (s) =                    Snσ [h(s, σ)xn (σ] dσ,    (2.72)
                                            2π            −π
оператор Sn = Sn1 определен в (2.33), а Snσ означает, что оператор Sn
применяется по переменной σ . Как отмечено выше, при всех n > n0
оператор Gn : Xn −→ Xn линейно обратим. Поэтому уравнение (2.71)
эквивалентно операторному уравнению
       e n xn ≡ xn + G−1
       K                         −1             −1
                      n Tn xn = Gn Sn y ( xn , Gn Sn y ∈ Xn ).                           (2.73)

                                                110