Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 110 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

= −2 I
µ
d
2
y(σ)
dσ
2
; s
∈ {H
α
при α < 1 ; Z при α = 1 },
где I и Z – использованные в §1 гл. I оператор Гильберта и соот-
ветственно класс функций Зигмунда. Поэтому
H
µ
d
ds
G
−1
y; α
= 2 H(Iy
00
; α) 6 d
3
H(y
00
; α), α < 1;
Z
µ
d
ds
G
−1
y
= 2 Z(Iy
00
) 6 d
4
Z(y
00
) 6 2 d
4
F (y
00
; α), α = 1,
где
Z(ϕ) = sup
δ6=0
|ϕ(s + σ) − 2ϕ(s) + ϕ(s − σ)|
δ
, ϕ ∈ Z.
Тогда с помощью известных аппроксимативных свойств оператора S
n
= S
1
n
(см., напр., в [57]) имеем
kG
−1
y − S
n
G
−1
yk
∞
= H(y
00
; α) · O (n
−1−α
), 0 < α 6 1. (2.66)
А тогда в силу пункта б) теоремы 2.6 имеем
r
n
≡ kG
−1
y − G
−1
n
S
n
yk
2
= O (n) · kG
−1
y − S
n
G
−1
yk
∞
=
= H(y
00
; α) · O (n
−α
), 0 < α 6 1. (2.67)
В условиях теоремы функция T (x
n
; s) удовлетворяет условиям
T (x
n
; s) ∈ W
2
H
α
, H(d
2
T x
n
/ds
2
; α) 6 d
5
kx
n
k
2
.
Поэтому, полагая в (2.67) y(s) = T (x
n
; s) , для любого x
n
∈ X
n
нахо-
дим
kG
−1
T x
n
− G
−1
n
S
n
T x
n
k
2
= H
µ
d
2
T x
n
ds
2
; α
· O
µ
1
n
α
6
d
6
kx
n
k
2
n
α
,
где d
5
и d
6
не зависят от x
n
∈ X
n
. Отсюда получаем
l
n
≡ kK − K
n
k
X
n
→X
=
°
°
G
−1
T − G
−1
n
S
n
T
°
°
X
n
→X
=O
µ
1
n
α
, 0 < α 6 1.
(2.68)
Тогда на основании теоремы 7 гл. I [25] при всех n таких, что
q
n
= kK
−1
k
2
l
n
6 d
7
n
−α
< 1 , операторы K
n
: X
n
−→ X
n
линейно
обратимы (а следовательно, СЛАУ (2.60), (2.61) однозначно разреши-
ма) и приближенные решения x
∗
n
= K
−1
n
G
−1
n
S
n
y = A
−1
n
S
n
y сходятся
со скоростью kx
∗
− x
∗
n
k
2
= O (r
n
+ l
n
) = O (n
−α
), 0 < α 6 1 . Таким
образом, теорема 2.7 полностью доказана.
109
            µ             ¶
              d2 y(σ)
     = −2 I        2
                       ; s ∈ {H α при α < 1 ; Z при α = 1 } ,
                dσ
где I и Z – использованные в §1 гл. I оператор Гильберта и соот-
ветственно класс функций Зигмунда. Поэтому
           µ              ¶
             d −1
        H       G y; α = 2 H(Iy 00 ; α) 6 d3 H(y 00 ; α), α < 1;
             ds
       µ          ¶
         d −1
     Z      G y = 2 Z(Iy 00 ) 6 d4 Z(y 00 ) 6 2 d4 F (y 00 ; α), α = 1,
         ds
где
                         |ϕ(s + σ) − 2ϕ(s) + ϕ(s − σ)|
         Z(ϕ) = sup                                    , ϕ ∈ Z.
                   δ6=0                δ
Тогда с помощью известных аппроксимативных свойств оператора Sn = Sn1
(см., напр., в [57]) имеем
    kG−1 y − Sn G−1 yk∞ = H(y 00 ; α) · O (n−1−α ),      0 < α 6 1.     (2.66)
А тогда в силу пункта б) теоремы 2.6 имеем
        rn ≡ kG−1 y − G−1                   −1       −1
                       n Sn yk2 = O (n) · kG y − Sn G yk∞ =

                    = H(y 00 ; α) · O (n−α ),   0 < α 6 1.              (2.67)
В условиях теоремы функция T (xn ; s) удовлетворяет условиям
           T (xn ; s) ∈ W 2 H α ,   H(d2 T xn /ds2 ; α) 6 d5 kxn k2 .
Поэтому, полагая в (2.67) y(s) = T (xn ; s) , для любого xn ∈ Xn нахо-
дим
                                µ 2           ¶    µ ¶
                                 d  T x n            1     d kxn k
  kG−1 T xn − G−1
               n Sn T xn k2 = H       2
                                          ;α · O      α
                                                         6 6 α 2,
                                   ds               n         n
где d5 и d6 не зависят от xn ∈ Xn . Отсюда получаем
                                                   µ ¶
                       ° −1              °            1
  ln ≡ kK − Kn kXn →X= °G T − G−1        °
                                  n Sn T Xn →X=O            , 0 < α 6 1.
                                                      nα
                                                                    (2.68)
Тогда на основании теоремы 7 гл. I [25] при всех n таких, что
qn = kK −1 k2 ln 6 d7 n−α < 1 , операторы Kn : Xn −→ Xn линейно
обратимы (а следовательно, СЛАУ (2.60), (2.61) однозначно разреши-
ма) и приближенные решения x∗n = Kn−1 G−1                −1
                                            n Sn y = An Sn y сходятся
со скоростью kx∗ − x∗n k2 = O (rn + ln ) = O (n−α ), 0 < α 6 1 . Таким
образом, теорема 2.7 полностью доказана.

                                       109

Страницы