Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Из (2.73) и (2.65) для любого x
n
∈ X
n
находим
K
n
x
n
−
e
K
n
x
n
= G
−1
n
S
n
ν
n
, ν
n
(s) =
1
2π
Z
π
−π
[hx
n
− S
σ
n
(hx
n
) ] dσ. (2.74)
Как показано при доказательстве теоремы 2.7, для любой y ∈ W
2
H
α
,
(0 < α 6 1) справедлива оценка (2.67). Полагая в ней y(s) = ν
n
(s) ,
для любого x
n
∈ X
n
находим
kG
−1
n
S
n
ν
n
k
2
6 kG
−1
ν
n
k
2
+ H(ν
00
n
; α) · O (n
−α
). (2.75)
Положим
ν
(i)
n
(s) =
1
2π
Z
π
−π
[h
i
x
n
− S
σ
n
(h
i
x
n
)] dσ , h
i
(s, σ) =
∂
i
h(s, σ)
∂s
i
, (2.76)
где i = 0, 1, 2 , а h
0
≡ h . В силу леммы 1.2 гл. I и (2.76) имеем
kG
−1
ν
n
k
2
6 2 kν
n
k
W
1
2
= 2 (kν
n
k
2
+ kν
n
0
k
2
) 6
6
1
X
i=0
1
π
k
Z
π
−π
[h
i
x
n
− S
σ
n
(h
i
x
n
)] dσk
∞
. (2.77)
Отсюда и из леммы 2.2 с учетом соответствующих результатов [42]
находим
kG
−1
ν
n
k
2
6 kx
n
k
2
· O {ω
σ
(h; 1/n)
∞
+ ω
σ
(h
1
; 1/n)
∞
} =
= kx
n
k
2
· O (n
−α
), x
n
∈ X
n
, 0 < α 6 1, (2.78)
где ω
σ
(ψ; δ)
∞
– модуль непрерывности с шагом δ > 0 функции ψ(s, σ) ∈
C[−π, π]
2
по переменной σ равномерно относительно s . Для ν
00
n
(s)
аналогично получаем
kν
00
n
(s)k
∞
6 kx
n
k
2
· O {ω
σ
(h
2
; 1/n)
∞
} = kx
n
k
2
· O (n
−α
).
Отсюда по аналогии с соответствующим результатом гл. 3 [25] находим
H(ν
00
n
; α) = kx
n
k
2
· O(1), x
n
∈ X
n
. (2.79)
Из формул (2.74) – (2.79) следует оценка
kK
n
x
n
−
e
K
n
x
n
k
2
6 kx
n
k
2
· O(n
−α
), x
n
∈ X
n
. (2.80)
Поэтому в силу (2.68) имеем
e
l
n
≡ k
e
K
n
− Kk
X
n
→X
6 l
n
+ kK
n
−
e
K
n
k
X
n
→X
n
= O (n
−α
) . (2.81)
Теперь с учетом (2.80), (2.81) и (2.67) из теоремы 7 гл. I [25] следует
требуемое утверждение.
111
Из (2.73) и (2.65) для любого xn ∈ Xn находим
                                          Z π
          e n xn = G−1                  1
 K n xn − K         n Sn νn , νn (s) =        [hxn − Snσ (hxn ) ] dσ. (2.74)
                                       2π −π
Как показано при доказательстве теоремы 2.7, для любой y ∈ W 2 H α ,
(0 < α 6 1) справедлива оценка (2.67). Полагая в ней y(s) = νn (s) ,
для любого xn ∈ Xn находим
               kG−1             −1          00           −α
                 n Sn νn k2 6 kG νn k2 + H(νn ; α) · O (n ).                             (2.75)
Положим
                    Z   π
                1                                                        ∂ i h(s, σ)
   νn(i) (s) =               [hi xn − Snσ (hi xn )] dσ ,   hi (s, σ) =               ,   (2.76)
               2π       −π                                                    ∂si
где i = 0, 1, 2 , а h0 ≡ h . В силу леммы 1.2 гл. I и (2.76) имеем
                kG−1 νn k2 6 2 kνn kW 1 = 2 (kνn k2 + kνn 0 k2 ) 6
                                               2


                          X1      Z π
                              1
                        6       k     [hi xn − Snσ (hi xn )] dσk∞ .                      (2.77)
                          i=0
                              π −π
Отсюда и из леммы 2.2 с учетом соответствующих результатов [42]
находим
          kG−1 νn k2 6 kxn k2 · O {ωσ (h; 1/n)∞ + ωσ (h1 ; 1/n)∞ } =
                    = kxn k2 · O (n−α ),            xn ∈ Xn , 0 < α 6 1,                 (2.78)
где ωσ (ψ; δ)∞ – модуль непрерывности с шагом δ > 0 функции ψ(s, σ) ∈
C[−π, π]2 по переменной σ равномерно относительно s . Для νn00 (s)
аналогично получаем
         kνn00 (s)k∞ 6 kxn k2 · O {ωσ (h2 ; 1/n)∞ } = kxn k2 · O (n−α ).
Отсюда по аналогии с соответствующим результатом гл. 3 [25] находим
                         H(νn00 ; α) = kxn k2 · O(1),        xn ∈ Xn .                   (2.79)
Из формул (2.74) – (2.79) следует оценка
                       e n xn k 6 kxn k · O(n−α ),
              kKn xn − K                                           x n ∈ Xn .            (2.80)
                               2       2


Поэтому в силу (2.68) имеем
     e     e n − Kk
     ln ≡ kK                           e nk
                          6 ln + kKn − K           = O (n−α ) .                          (2.81)
                    Xn →X                   Xn →Xn


Теперь с учетом (2.80), (2.81) и (2.67) из теоремы 7 гл. I [25] следует
требуемое утверждение.

                                                   111

Страницы