Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

6
∞
X
k=1
√
2
k
n · kϕ
∗
2
k
n
− ϕ
∗
2
k−1
n
k
2
. (3.6)
Так как в силу (3.3)
kϕ
∗
2
k
n
− ϕ
∗
2
k−1
n
k
2
6 kϕ
∗
− ϕ
∗
2
k
n
k
2
+ kϕ
∗
− ϕ
∗
2
k−1
n
k
2
6
6 H(ϕ
∗
; α)
2
· O {(2
k
n)
1−α−γ
+ (2
k−1
n)
1−α−γ
} =
= H(ϕ
∗
; α)
2
· 2
(k−1)(1−α−γ)
· O (n
1−α−γ
) ,
то из (3.6) следует оценка (3.2).
Оценка (3.1) может быть доказана совершенно аналогично. Одна-
ко здесь укажем другой способ доказательства, который понадобится
также ниже. В рассматриваемом случае, как показано в теореме 1.4,
справедливо неравенство
kϕ
∗
− ϕ
∗
n
k
2
= H(ϕ
∗
; α) · O (n
−α−γ+1
) . (3.7)
Здесь разность ϕ
∗
(t) − ϕ
∗
n
(t), t ∈ [−1, 1] , представим в виде
ϕ
∗
− ϕ
∗
n
= (ϕ
∗
− S
n
ϕ
∗
) + S
n
(ϕ
∗
− ϕ
∗
n
), (3.8)
где оператор S
n
= S
0
n
определен в (1.10). Полагая u
n
= S
n
(ϕ
∗
− ϕ
∗
n
) ,
из (3.5) и (1.23) находим
kS
n
(ϕ
∗
− ϕ
∗
n
)k
M[−1,1]
6
√
n kS
n
(ϕ
∗
− ϕ
∗
n
)k
L
2
[−1,1]
6
6
√
n k~ϕ
∗
− ~ϕ
∗
n
k
3
=
√
n kεk
3
. (3.9)
Из (3.8), (3.9) и (1.38) последовательно находим требуемую оценку
(3.1):
kϕ
∗
− ϕ
∗
n
k
M
6 kϕ
∗
− S
n
ϕ
∗
k
M
+
√
n kεk
3
6
6 H(ϕ
∗
; α) n
−α
+
√
n H(ϕ
∗
; α) · O (n
−α−γ+1
) =
= H(ϕ
∗
; α) · O (n
−α
+ n
−α−γ+3/2
) = H(ϕ
∗
; α) · O (n
−α−γ+3/2
) .
Аналогичным образом может быть доказана также оценка (3.2).
Для метода сплайн–коллокации первого порядка справедливы сле-
дующие две теоремы.
Теорема 3.2. а) Если r + α + γ > 3/2, то в условиях пункта
а) теоремы 2.6 приближенные решения метода сплайн–коллокации
первого порядка для уравнения (2.55) сходятся равномерно со скоро-
стью
kx
∗
− x
∗
n
k
∞
= O (n
−r−α−γ+3/2
) ( r = 0, 1; 0 < α 6 1, 0 < γ < 1 );
113
                           ∞ √
                           X
                       6         2k n · kϕ∗2k n − ϕ∗2k−1 n k2 .           (3.6)
                           k=1
Так как в силу (3.3)
          kϕ∗2k n − ϕ∗2k−1 n k2 6 kϕ∗ − ϕ∗2k n k2 + kϕ∗ − ϕ∗2k−1 n k2 6
            6 H(ϕ∗ ; α)2 · O {(2k n)1−α−γ + (2k−1 n)1−α−γ } =
                 = H(ϕ∗ ; α)2 · 2(k−1)(1−α−γ) · O (n1−α−γ ) ,
то из (3.6) следует оценка (3.2).
     Оценка (3.1) может быть доказана совершенно аналогично. Одна-
ко здесь укажем другой способ доказательства, который понадобится
также ниже. В рассматриваемом случае, как показано в теореме 1.4,
справедливо неравенство
                  kϕ∗ − ϕ∗n k2 = H(ϕ∗ ; α) · O (n−α−γ+1 ) .               (3.7)
Здесь разность ϕ∗ (t) − ϕ∗n (t), t ∈ [−1, 1] , представим в виде
                 ϕ∗ − ϕ∗n = (ϕ∗ − Sn ϕ∗ ) + Sn (ϕ∗ − ϕ∗n ),               (3.8)
где оператор Sn = Sn0 определен в (1.10). Полагая un = Sn (ϕ∗ − ϕ∗n ) ,
из (3.5) и (1.23) находим
                                       √
             kSn (ϕ∗ − ϕ∗n )kM [−1,1] 6 n kSn (ϕ∗ − ϕ∗n )kL2 [−1,1] 6
                          √                     √
                       6 n k~    ϕ∗ − ϕ~ ∗n k3 = n kεk3 .             (3.9)
Из (3.8), (3.9) и (1.38) последовательно находим требуемую оценку
(3.1):                                        √
               kϕ∗ − ϕ∗n kM 6 kϕ∗ − Sn ϕ∗ kM + n kεk3 6
                               √
            6 H(ϕ∗ ; α) n−α + n H(ϕ∗ ; α) · O (n−α−γ+1 ) =
     = H(ϕ∗ ; α) · O (n−α + n−α−γ+3/2 ) = H(ϕ∗ ; α) · O (n−α−γ+3/2 ) .
Аналогичным образом может быть доказана также оценка (3.2).
    Для метода сплайн–коллокации первого порядка справедливы сле-
дующие две теоремы.
    Теорема 3.2. а) Если r + α + γ > 3/2, то в условиях пункта
а) теоремы 2.6 приближенные решения метода сплайн–коллокации
первого порядка для уравнения (2.55) сходятся равномерно со скоро-
стью
   kx∗ − x∗n k∞ = O (n−r−α−γ+3/2 ) ( r = 0, 1; 0 < α 6 1, 0 < γ < 1 );

                                        113

Страницы