Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 115 стр.

   б) если α > 1/2, то в условиях пункта б) теоремы 2.6 тот же
метод для уравнения (2.56) сходится равномерно со скоростью
               kx∗ − x∗n k∞ = O (n−α+1/2 ),     1/2 < α 6 1.

    Теорема 3.3. Если α > 1/2, то в условиях теоремы 2.7 ме-
тод сплайн–коллокации и в условиях теоремы 2.8 метод сплайн–
квадратур решения уравнения (2.59) сходятся равномерно со скоро-
стью
             kx∗ − x∗n k∞ = O (n−α+1/2 ), 1/2 < α 6 1.
     Теоремы 3.2 и 3.3 доказываются аналогично теореме 3.1.
     3.2. О сходимости невязки сплайн–методов. Приведенные
в §§1 и 2 результаты позволяют доказать сходимость невязки прибли-
женного решения. Здесь особый интерес представляет тот случай, ко-
гда сходимости приближенных решений может и не быть даже в L2 ,
а невязка сходится не только в среднем, но и равномерно. Приведем
один из таких результатов.
    Теорема 3.4. Если α > 1/2, то в условиях пункта б) те-
оремы 1.4 невязка приближенного решения (1.3∗ ) метода сплайн–
коллокации нулевого порядка сходится равномерно со скоростью
    kf − Hϕ∗n k∞ = O {ω(f ; 1/n)∞ + n−α+1/2 },       1/2 < α 6 1.   (3.10)

     Доказательство. В силу (1.40) имеем
            kϕ∗ − ϕ∗n k2 = H(ϕ∗ ; α)2 · O (n1−α ),   0 < α 6 1.
Поэтому
        kϕ∗n k2 6 kϕ∗ k2 + H(ϕ∗ ; α)2 · O (n1−α ) = O (n1−α ).      (3.11)
Поскольку Sn F ϕ∗n ≡ Sn f , где Sn = Sn0 , то
        kf − F ϕ∗n kC 6 kf − Sn f kM + kF ϕ∗n − Sn F ϕ∗n kM .       (3.12)
Нетрудно показать, что функция F (ϕ∗n ; t) удовлетворяет условию Гель-
дера с показателем 1/2 и с постоянной a0 kϕ∗n k2 , где a0 – положи-
тельная постоянная, не зависящая от n и ϕn∗ . Тогда из (3.12), (1.17)
и (3.11) последовательно находим
                                                 √
       kf − F ϕ∗n k∞ 6 ω(f ; 1/n)∞ + a0 kϕ∗n k2 / n = ω(f ; 1/n)∞ +
          √
    +(a0 / n) · O (n1−α ) = O {ω(f ; 1/n)∞ + n1/2−α }, 1/2 < α 6 1.

                                    114