Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

§3. О характере и скорости
сходимости сплайн–методов
3.1. О равномерной сходимости сплайн–методов. Из схо-
димости в среднем, установленной выше для сплайн–методов, можно
вывести также равномерную сходимость с определенной скоростью.
Приведем некоторые из таких результатов.
Теорема 3.1. Если в условиях пункта а) теоремы 1.4 точное
решение ϕ
∗
∈ H
α
(0 < α 6 1), то при α+γ > 3/2 приближенные ре-
шения ϕ
∗
n
(t) метода сплайн–коллокации нулевого порядка сходятся
со скоростью
kϕ
∗
− ϕ
∗
n
k
M
= H(ϕ
∗
; α) · O (n
−α−γ+3/2
) ; (3.1)
если же ϕ
∗
∈ F
α
2
(0 < α 6 1) , а γ < 1/2 , то и со скоростью
kϕ
∗
− ϕ
∗
n
k
M
= H(ϕ
∗
; α)
2
· O (n
−α−γ+3/2
) . (3.2)
Доказательство. Сначала докажем оценку (3.2). Как показано
в теореме 1.4, при α + γ > 1 справедлива оценка
kϕ
∗
− ϕ
∗
n
k
2
= H(ϕ
∗
; α)
2
· O (n
1−α−γ
) . (3.3)
Разность ϕ
∗
(t) − ϕ
∗
n
(t) представим в виде
ϕ
∗
(t) − ϕ
∗
n
(t) =
∞
X
k=1
[ϕ
∗
2
k
n
(t) − ϕ
∗
2
k−1
n
(t)]. (3.4)
Легко видеть, что для любого сплайна u
n
(t) ∈ X
n
= L({ψ
k
}
n
1
) спра-
ведливо неравенство
ku
n
k
M[−1,1]
6
√
n ku
n
k
L
2
[−1,1]
. (3.5)
В самом деле, полагая u
n
(t) =
P
n
k=1
u
n
(t
k
)ψ
k
(t) и учитывая соотно-
шения ψ
2
k
(t) = ψ
k
(t) и (1.23), для любой t ∈ [−1, 1] имеем
|u
n
(t)| 6
(
n
X
k=1
|u
n
(t
k
)|
2
)
1/2
·
(
n
X
k=1
ψ
k
(t)
)
1/2
=
=
√
n
(
1
n
n
X
k=1
|u
n
(t
k
)|
2
)
1/2
=
√
n ku
n
k
L
2
[−1,1]
.
Поскольку ϕ
∗
2
k
n
(t) − ϕ
∗
2
k−1
n
(t) ∈ X
2
k
n
, то с помощью (3.4), (3.5)
получаем неравенства
kϕ
∗
(t) − ϕ
∗
n
(t)k
M
6
∞
X
k=1
kϕ
∗
2
k
n
(t) − ϕ
∗
2
k−1
n
(t)k
M
6
112
                       §3. О характере и скорости
                       сходимости сплайн–методов
    3.1. О равномерной сходимости сплайн–методов. Из схо-
димости в среднем, установленной выше для сплайн–методов, можно
вывести также равномерную сходимость с определенной скоростью.
Приведем некоторые из таких результатов.
     Теорема 3.1. Если в условиях пункта а) теоремы 1.4 точное
решение ϕ∗ ∈ H α (0 < α 6 1), то при α+γ > 3/2 приближенные ре-
шения ϕ∗n (t) метода сплайн–коллокации нулевого порядка сходятся
со скоростью
                   kϕ∗ − ϕ∗n kM = H(ϕ∗ ; α) · O (n−α−γ+3/2 ) ;                      (3.1)
если же ϕ∗ ∈ F2α (0 < α 6 1) , а γ < 1/2 , то и со скоростью
                 kϕ∗ − ϕ∗n kM = H(ϕ∗ ; α)2 · O (n−α−γ+3/2 ) .                       (3.2)
     Доказательство. Сначала докажем оценку (3.2). Как показано
в теореме 1.4, при α + γ > 1 справедлива оценка
                    kϕ∗ − ϕ∗n k2 = H(ϕ∗ ; α)2 · O (n1−α−γ ) .                       (3.3)
Разность ϕ∗ (t) − ϕ∗n (t) представим в виде
                                 X∞
                 ∗         ∗
                ϕ (t) − ϕn (t) =    [ϕ∗2k n (t) − ϕ∗2k−1 n (t)].                    (3.4)
                                         k=1
Легко видеть, что для любого сплайна un (t) ∈ Xn = L({ψk }n1 ) спра-
ведливо неравенство
                                       √
                       kun kM [−1,1] 6 n kun kL2 [−1,1] .          (3.5)
                                     Pn
В самом деле, полагая un (t) = k=1 un (tk )ψk (t) и учитывая соотно-
шения ψk2 (t) = ψk (t) и (1.23), для любой t ∈ [−1, 1] имеем
                       ( n               )1/2 ( n           )1/2
                        X                      X
            |un (t)| 6       |un (tk )|2     ·       ψk (t)      =
                                k=1                        k=1
                           (      n
                                                )1/2
                   √           1X                          √
               =       n          |un (tk )|2          =       n kun kL2 [−1,1] .
                               n
                                 k=1
    Поскольку       ϕ∗2k n (t)
                       − ϕ∗2k−1 n (t) ∈ X2k n , то с помощью (3.4), (3.5)
получаем неравенства
                                X∞
             ∗      ∗
          kϕ (t) − ϕn (t)kM 6        kϕ∗2k n (t) − ϕ∗2k−1 n (t)kM 6
                                         k=1

                                           112

Страницы