Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 117 стр.

                    §4. Некоторые обобщения
     4.1. Неулучшаемые оценки погрешности метода сплайн–
коллокации. Приведенные выше результаты позволяют получить неулуч-
шаемые по порядку оценки погрешности для сплайн–методов реше-
ния уравнений (0.1), (0.2) и некоторых их обобщений. Исследования
здесь основаны на доказательстве обратимости слева соответствую-
щих аппроксимирующих операторов сплайн–методов для характери-
стических частей рассматриваемых уравнений и на последующем при-
менении результатов общей теории приближенных методов и теории
приближения сплайнами. Проиллюстрируем сказанное применительно
к методу сплайн–коллокации первого порядка (2.29), (2.59) – (2.61).
     Теорема 4.1. Пусть выполнены условия: а) y(s) ∈ W21 [−π, π], а
ядро h(s, σ) таково, что оператор T : L2 −→ W21 вполне непреры-
вен; б) уравнение (4.59) имеет единственное решение x∗ ∈ L2 [−π, π]
при любой правой части y ∈ W21 [−π, π]. Тогда при всех n > n0 (n0
определяется свойствами регулярного ядра h(s, σ), в частности,
n0 = 0, если ядро h(s, σ) = 0 или же не зависит хотя бы от первой
переменной) СЛАУ (2.60), (2.61) также имеет единственное реше-
ние αk∗ n−n . Приближенные решения x∗n (s) (т.е. (2.29) при αk = αk∗ )
сходятся к точному решению x∗ (s) в пространстве L2 [−π, π] со
скоростью
                        kx∗ − x∗n k2 ³ En1 (x∗ )2 ,             (4.1)
где En1 (x∗ )2 = ρ(x∗ , Xn )2 , Xn = {xn } , а знак ³ есть символ слабой
эквивалентности.
    Доказательство. Ввиду излишней громоздкости выкладок при-
ведем в основном лишь схему доказательства.
    Положим: X = L2 [−π, π] ≡ L2 с обычной нормой k · k2 и Y =
= W21 [−π, π] ≡ W21 с нормой kykY = kyk∞ + ky 0 k2 , эквивалентной
введенной в гл. I, и
            Xn = L({ϕk }n−n ) ∩ L2 ,     Yn = L({ϕk }n−n ) ∩ W21 ,
где {ϕk }n−n – фундаментальные сплайны первой степени для системы
узлов (2.28). Тогда уравнение (2.59) и СЛАУ (2.60), (2.61) эквивалент-
ны операторным уравнениям соответственно
                 Ax ≡ Gx + T x = y ( x ∈ X, y ∈ Y ),                 (4.2)
      An xn ≡ Gn xn + Sn1 T xn = Sn1 y ( xn ∈ Xn , Sn1 y ∈ Yn ),     (4.3)
где Gn = Sn1 G , а оператор Sn1 определен в (2.33).

                                       116