Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 118 стр.

    В силу условий теоремы оператор A : L2 −→ W21 непрерывно
обратим. Докажем, что операторы An : Xn −→ Yn ( n > n0 ) также
непрерывно обратимы, а обратные операторы ограничены по норме в
совокупности 1) :
                     kA−1
                       n k 6 e1 ,       A−1
                                         n : Yn −→ Xn .                 (4.4)
С этой целью нам понадобятся следующие леммы.
     Лемма 4.1. Операторы Sn1 : Y −→ Yn ограничены по норме в
совокупности, точнее,
                         kSn1 k = 1 ,     n = 1, 2, . . .               (4.5)

     Следствие. Для любой функции y ∈ W21 сплайн Sn1 y → y, n →
∞ , в пространстве W21 и
                        ky − Sn1 ykY 6 e2 ρ(y, Yn )Y .                  (4.6)

    Лемма 4.2. Операторы Gn = Sn1 G : Xn −→ Yn непрерывно
обратимы при любых n ∈ N и
                     kG−1
                       n k 6 e3 ,       G−1
                                         n : Yn −→ Xn .                 (4.7)

    Лемма 4.3. Операторы G−1      1
                             n Sn : Y −→ Xn при n → ∞ сильно
сходятся к оператору G−1 : Y −→ X , причем для любой y ∈ W21
имеем
                kG−1 y − G−1 1           1   −1
                          n Sn yk2 6 e4 En (G y)2 .     (4.8)
    Лемма 4.4. Операторы G−1    1
                             n Sn T : X −→ X при n → ∞ схо-
дятся к оператору G−1 T : X −→ X равномерно, причем
                k(G−1 − G−1 1
                         n Sn )T k2 6 νn → 0,               n → ∞,      (4.9)
где величина νn определяется мерой компактности (в частности,
сглаживающими свойствами) оператора T : X −→ Y .
     Теперь с помощью лемм 4.1 – 4.4 для любого xn ∈ Xn последо-
вательно находим (см. также [47, 33])
          kAn xn kY = kGn xn + Sn1 T xn kY > kG−1 −1 −1
                                               n k kG Axn −

          −(G−1 − G−1 1             −1   −1           −1
                   n Sn )T xn k2 > e3 [kG Axn k2 − k(G −

      −G−1 1               −1  −1
        n Sn )T xn k2 ] > e3 kA Gk2
                                    −1
                                       kxn k2 (1 − νn kA−1 Gk2 ) >
 1) Здесь ek (k = 1, 8) – вполне определенные положительные постоянные, не за-
висящие от n , об эффективности которых нетрудно судить по их происхождению.

                                        117