Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

> (e
3
kA
−1
k · kGk)
−1
(1 − ν
n
kA
−1
k · kGk) kx
n
k
2
; (4.10)
здесь операторы G, A : X −→ Y ; G
−1
, A
−1
: Y −→ X; A
−1
G :
X −→ X , а величина
q
n
≡ ν
n
kA
−1
Gk
2
→ 0, n → ∞. (4.11)
Поэтому существует такое n
0
∈ N , что для всех n > n
0
имеем
q
n
6 1/2 . А тогда операторы A
n
: X
n
−→ Y
n
, как известно (см.,
напр., теорему 1 и ее следствие гл. I [25]), обратимы слева и
kA
−1
nl
k 6 e
3
kA
−1
Gk
2
(1 − q
n
)
−1
6 2 e
3
kA
−1
Gk
2
; (4.4
0
)
поскольку dim X
n
= dim Y
n
< ∞, то операторы A
n
: X
n
−→ Y
n
обратимы также справа, а тогда из (4.4
0
) следует неравенство (5.4) с
e
1
= 2 e
3
kA
−1
Gk
2
.
Теперь, применив к уравнениям (4.2), (4.3) теорему 6 гл. I книги
[25], получаем
kx
∗
−x
∗
n
k
2
= kA
−1
y −A
−1
n
S
1
n
yk
2
6 kE −A
−1
n
S
1
n
Ak
2
·kx
∗
−x
n
k
2
, (4.12)
где x
n
– произвольный элемент из X
n
. Выбирая его так, чтобы kx
∗
−
x
n
k
2
= E
1
n
(x
∗
)
2
и пользуясь неравенствами (4.4
0
), (4.6), (4.12), после-
довательно находим
E
1
n
(x
∗
)
2
6 kx
∗
− x
∗
n
k
2
6 E
1
n
(x
∗
)
2
{1 + kA
−1
n
k
Y
n
→X
n
·
·kS
1
n
k
Y →Y
n
· kAk
X→Y
} 6 E
1
n
(x
∗
)
2
(1 + e
1
e
5
), (4.13)
где e
5
= kAk
X→Y
. Отсюда следует требуемое утверждение.
Из теоремы 4.1 легко выводятся следующие теоремы.
Теорема 4.2. В условиях теоремы 4.1 невязка метода сплайн–
коллокации (2.29), (2.59)–(2.61) сходится в пространствах W
1
2
и H
β
(0 < β 6 1/2, H
0
≡ C
2π
) со скоростями соответственно
ky − Ax
∗
n
k
W
1
2
= O {E
1
n
(x
∗
)
2
}, ky − Ax
∗
n
k
H
β
= O {E
1
n
(x
∗
)
2
}.
Теорема 4.3. Если x
∗
∈ W
r
H
α
2
(r > 0, 0 < α 6 1), то в услови-
ях теоремы 4.1 метод сплайн–коллокации первого порядка сходится
в том смысле, что
ky − Ax
∗
n
k
W
1
2
³ kx
∗
− x
∗
n
k
L
2
=
O (n
−r−α
) при 0 < r + α 6 2,
O (n
−2
) при r + α > 2;
118
         > (e3 kA−1 k · kGk)−1 (1 − νn kA−1 k · kGk) kxn k2 ;                       (4.10)
здесь операторы G, A : X −→ Y ; G−1 , A−1 : Y −→ X; A−1 G :
X −→ X , а величина
                       qn ≡ νn kA−1 Gk2 → 0,            n → ∞.                      (4.11)
Поэтому существует такое n0 ∈ N , что для всех n > n0 имеем
qn 6 1/2 . А тогда операторы An : Xn −→ Yn , как известно (см.,
напр., теорему 1 и ее следствие гл. I [25]), обратимы слева и
             kA−1          −1
               nl k 6 e3 kA Gk2 (1 − qn )
                                         −1
                                            6 2 e3 kA−1 Gk2 ;                       (4.40 )
поскольку dim Xn = dim Yn < ∞ , то операторы An : Xn −→ Yn
обратимы также справа, а тогда из (4.40 ) следует неравенство (5.4) с
e1 = 2 e3 kA−1 Gk2 .
      Теперь, применив к уравнениям (4.2), (4.3) теорему 6 гл. I книги
[25], получаем
 kx∗ − x∗n k2 = kA−1 y − A−1 1             −1 1         ∗
                          n Sn yk2 6 kE − An Sn Ak2 · kx − xn k2 , (4.12)

где xn – произвольный элемент из Xn . Выбирая его так, чтобы kx∗ −
xn k2 = En1 (x∗ )2 и пользуясь неравенствами (4.40 ), (4.6), (4.12), после-
довательно находим
           En1 (x∗ )2 6 kx∗ − x∗n k2 6 En1 (x∗ )2 {1 + kA−1
                                                         n kYn →Xn ·

                ·kSn1 kY →Yn · kAkX→Y } 6 En1 (x∗ )2 (1 + e1 e5 ),                  (4.13)
где e5 = kAkX→Y . Отсюда следует требуемое утверждение.
     Из теоремы 4.1 легко выводятся следующие теоремы.
     Теорема 4.2. В условиях теоремы 4.1 невязка метода сплайн–
коллокации (2.29), (2.59)–(2.61) сходится в пространствах W21 и H β
(0 < β 6 1/2, H 0 ≡ C2π ) со скоростями соответственно
      ky − Ax∗n kW 1 = O {En1 (x∗ )2 },         ky − Ax∗n kH β = O {En1 (x∗ )2 }.
                   2


    Теорема 4.3. Если x∗ ∈ W r H2α (r > 0, 0 < α 6 1), то в услови-
ях теоремы 4.1 метод сплайн–коллокации первого порядка сходится
в том смысле, что
                               
                                O (n−r−α )  при 0 < r + α 6 2,
        ∗          ∗   ∗
 ky − Axn kW 1 ³ kx − xn kL2 =
            2                  
                                 O (n−2 )     при   r + α > 2;


                                          118

Страницы