Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

6
1
X
i=0
1
2n + 1
k
n
X
k=−n
[h
i
(s, ξ
k
) − h
i
(s, s
k
)] x
n
(s
k
)k
∞
6
6
h
1
X
i=0
ω
σ
µ
h
i
;
2π
2n + 1
∞
i
·
1
2n + 1
n
X
k=−n
|x
n
(s
k
)| 6
6 (1 + π)
1
X
i=0
ω
σ
(h
i
;
1
n
)
∞
·
(
1
2n + 1
n
X
k=−n
|x
n
(s
k
)|
2
)
1/2
, (4.18)
где h
i
(s, σ) = ∂
i
h(s, σ)/∂s
i
(i = 0, 1) . Из (4.18) и леммы 2.2 следует,
что
kA
n
−
e
A
n
k
X
n
→Y
n
6 (1+π)
√
3 {ω
σ
(h; 1/n)
∞
+ω
σ
(h
0
s
; 1/n)
∞
} ≡ µ
n
. (4.19)
Поскольку µ
n
→ 0 монотонно при n → ∞, а в силу теоремы 4.1
операторы A
n
: X
n
−→ Y
n
(n > n
0
) линейно обратимы, то из (4.4) и
(4.19) следует, что при всех n > n
1
таких, что
r
n
≡ kA
−1
n
kµ
n
< 1, (4.20)
операторы
e
A
n
: X
n
−→ Y
n
также линейно обратимы и
k
e
A
−1
n
k 6 kA
−1
n
k(1 − r
n
)
−1
6 e
6
, (4.21)
kA
−1
n
−
e
A
−1
n
k
Y
n
→X
n
6 e
7
kA
n
−
e
A
n
k
X
n
→Y
n
6 e
7
µ
n
. (4.22)
Поэтому СЛАУ (2.69) при всех n > max(n
0
, n
1
) однозначно разре-
шима и в силу (4.19) – (4.22) и леммы 4.1 имеем
kx
∗
n
− ex
∗
n
k
2
= k(A
−1
n
−
e
A
−1
n
) S
1
n
yk
2
6
6 kA
−1
n
−
e
A
−1
n
k
Y
n
→X
n
· kS
1
n
yk
Y
6 e
7
µ
n
kyk
Y
= e
8
µ
n
. (4.23)
Поскольку
kx
∗
− ex
∗
n
k
2
= k(A
−1
−
e
A
−1
n
S
1
n
)yk
2
6 kx
∗
n
− ex
∗
n
k
2
+ kx
∗
− x
∗
n
k
2
,
где x
∗
n
(s) – приближенное решение, построенное методом сплайн–
коллокации, то из неравенств (4.1), (4.23) и (4.19) следует требуемая
оценка (4.14).
Теорема 4.4 доказана. Из нее для метода сплайн–квадратур мож-
но получить утверждения, аналогичные теоремам 4.2 и 4.3 для метода
сплайн–коллокации; например, справедлива следующая
Теорема 4.5. Пусть выполнены условия: а) y(s) ∈ W
r+1
H
α
2
и h(s, σ) ∈ W
r+1
H
α
2
по переменной s, где r > 0, 0 < α 6 1 ;
120
               1
               X              X n
                       1
           6                k   [hi (s, ξk ) − hi (s, sk )] xn (sk )k∞ 6
               i=0
                     2n + 1
                              k=−n
               hX
                1        µ         ¶ i               Xn
                              2π             1
           6       ωσ hi ;              ·                |xn (sk )| 6
              i=0
                            2n + 1        2n +   1
                                    ∞               k=−n

                 1
                                  (            n
                                                               )1/2
                X           1          1     X
      6 (1 + π)     ωσ (hi ; )∞ ·                  |xn (sk )|2      ,      (4.18)
                i=0
                            n       2n +  1
                                                k=−n

где hi (s, σ) = ∂ i h(s, σ)/∂si (i = 0, 1) . Из (4.18) и леммы 2.2 следует,
что
                             √
 kAn − Aen k       6  (1+π)    3 {ωσ (h; 1/n)∞ +ωσ (h0s ; 1/n)∞ } ≡ µn . (4.19)
            Xn →Yn


     Поскольку µn → 0 монотонно при n → ∞ , а в силу теоремы 4.1
операторы An : Xn −→ Yn (n > n0 ) линейно обратимы, то из (4.4) и
(4.19) следует, что при всех n > n1 таких, что
                               rn ≡ kA−1
                                      n k µn < 1,                          (4.20)
          en : Xn −→ Yn также линейно обратимы и
операторы A
                         e−1
                        kA         −1           −1
                           n k 6 kAn k (1 − rn )   6 e6 ,                  (4.21)
             kA−1  e−1                   e
               n − An kYn →Xn 6 e7 kAn − An kXn →Yn 6 e7 µn .              (4.22)
Поэтому СЛАУ (2.69) при всех n > max(n0 , n1 ) однозначно разре-
шима и в силу (4.19) – (4.22) и леммы 4.1 имеем
                     kx∗n − x
                            e∗n k2 = k(A−1  e−1 1
                                        n − An ) Sn yk2 6

        6 kA−1  e−1            1
            n − An kYn →Xn · kSn ykY 6 e7 µn kykY = e8 µn .                (4.23)
Поскольку
      kx∗ − x                e−1 S 1 )yk 6 kx∗ − x
            e∗n k2 = k(A−1 − A                   e∗n k2 + kx∗ − x∗n k2 ,
                              n   n     2    n

где x∗n (s) – приближенное решение, построенное методом сплайн–
коллокации, то из неравенств (4.1), (4.23) и (4.19) следует требуемая
оценка (4.14).
     Теорема 4.4 доказана. Из нее для метода сплайн–квадратур мож-
но получить утверждения, аналогичные теоремам 4.2 и 4.3 для метода
сплайн–коллокации; например, справедлива следующая
   Теорема 4.5. Пусть выполнены условия: а) y(s) ∈ W r+1 H2α
и h(s, σ) ∈ W r+1 H2α по переменной s, где r > 0, 0 < α 6 1 ;

                                         120

Страницы