Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 123 стр.

     Из результатов раздела 1.1 гл. I и условий а) – в) теоремы следует,
что решение x∗ (s) уравнения (2.59) удовлетворяет условиям
   x∗ (s) ∈ { W r H2α при 0 < α < 1 ;    W r Z2 при α = 1 },        (4.31)
где Z2 = {ϕ ∈ L2 : ω2 (ϕ; δ)2 = O (δ), 0 < δ 6 π} . Поэтому функция
hi (s, σ)x∗ (σ) ∈ {W r H2α при 0 < α < 1; W r Z2 при α = 1} по пере-
менной σ равномерно относительно s . Тогда из (4.30) и результатов
по теории приближений сплайнами выводим, что
                             
                              O (n−r−α ) при 0 < r + α 6 2 ;
      k(Ten − Sn1 T )x∗ kY =                                  (4.32)
                                    −2
                                 O (n ) при     r + α > 2.
Из соотношений (4.29) – (4.32) следуют оценки (4.24).
    4.3. О сплайн–методах высоких порядков. Рассмотрим ин-
тегро–функциональное уравнение вида
               Z 2π ¯         ¯
             1         ¯ σ − s¯
     Dx ≡ −        ln ¯¯sin   ¯ x(σ) dσ + T (x; s) = y(s), (4.33)
            2π 0            2 ¯
где y ∈ W21 [0, 2π] , а T : L2 [0, 2π] −→ W21 [0, 2π] – некоторый вполне
непрерывный оператор. Решение этого уравнения будем аппроксими-
ровать сплайнами высоких порядков. Обозначим через XN ⊂ L2 [0, 2π]
подпространство всех 2π–периодических сплайнов степени 2r − 1 (r ∈ N)
с узлами
                    sk = 2kπ/N, k = 0, N (N ∈ N ).                 (4.34)
    Приближенное решение уравнения (4.33) будем искать в виде сплай-
на xN (s) ∈ XN , который будем определять как решение операторного
уравнения
  DN xN ≡ SN1 GxN + SN1 T xN = SN1 y(s) ( xN ∈ XN , SN1 y ∈ YN );   (4.35)
здесь YN ⊂ W21 [0, 2π] есть подпространство сплайнов первого порядка
с указанными узлами, SN1 : W21 −→ YN – соответствующий оператор
сплайн–интерполяции, а оператор G определен выше. Тогда справед-
лива следующая
     Теорема 4.6. Пусть уравнение (4.33) имеет единственное ре-
шение x∗ (s) ∈ L2 [0, 2π] при любой правой части y(s) ∈ W21 [0, 2π]. То-
гда при всех N ∈ N, начиная с некоторого, уравнение (4.35) также
имеет единственное решение x∗N (s), которое при N → ∞ сходится
со скоростью
                        kx∗ − x∗N k2 ³ ρ(x∗ , XN )2 .             (4.36)

                                   122