Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 124 стр.

     Следствие. Пусть оператор T : L2 −→ W21 и правая часть
y(s) уравнения (4.33) таковы, что его решение удовлетворяет усло-
вию x∗ (s) ∈ W m H2α ( m + 1 ∈ N, 0 < α 6 1 ). Тогда в условиях
теоремы 4.6 метод сплайн–коллокации сходится со скоростью
                 
                  O (N −m−α ), если 0 < m + α 6 2 r;
  kx∗ − x∗N k2 =                                           (4.36◦ )
                 
                     O (N −2r ), если m + α > 2 r.

     4.4. Замечания. Завершая эту главу, уместно привести следую-
щие утверждения.
     1◦ . Результаты, аналогичные приведенным в этом и других па-
раграфах этой главы, справедливы также для систем с.и.у. I -рода со
слабыми особенностями вида (а), (б) раздела 1.14 гл. I. Обоснование
этого утверждения проводится по схеме, предложенной в гл. I при
рассмотрении аналогичного вопроса для полиномиальных методов.
     2◦ . Результаты §4 по сплайн–методам могут быть применены при
обосновании полиномиальных методов коллокации и квадратур. Для
иллюстрации приведем следующий результат.
     Приближенное решение уравнения (4.33) ищем в виде полинома
                               n
                               X
                    xn (s) =          αk eiks ,   n + 1 ∈ N,                 (4.37)
                               k=−n

коэффициенты которого будем определять по методу коллокации из
СЛАУ          n
             X
                 αk D(eikσ ; sj ) = y(sj ), j = −n, n,   (4.38)
                k=−n

где узлы определены в (2.28). Для этой схемы справедлива
      Теорема 4.7. Пусть: а) T : L2 −→ W21 есть вполне непре-
рывный оператор; б) с.и.у. (4.33) однозначно разрешимо в X ≡ L2
при любой правой части из Y ≡ W21 . Тогда при всех n ∈ N, начи-
ная с некоторого, СЛАУ (4.38) также однозначно разрешима. При-
ближенные решения (4.37) сходятся в среднем к точному решению
x∗ (s) с.и.у. (4.33) со скоростью
           kx∗ − x∗n k2 ³ EnT (x∗ )2 ,      EnT (x∗ )2 = ρ(x∗ , IHTn )L2 .   (4.39)

    Следствие. Пусть решение уравнения (4.33) удовлетворяет
условию x∗ (s) ∈ W m H2α (m ∈ IR+ , 0 < α 6 1). Тогда в условиях тео-
ремы 4.7 полиномиальный метод коллокации (4.33), (4.37), (4.38), (2.28)

                                         123