Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 125 стр.

сходится в среднем и равномерно (при m + α > 1/2 ) со скоростями
соответственно
    kx∗ − x∗n k2 = O (n−m−α );   kx∗ − x∗n k∞ = O (n−m−α+1/2 ).      (4.39◦ )

     Доказательство. СЛАУ (4.38) запишем в виде эквивалентного
ей операторного уравнения
             Dn xn ≡ Sn1 Dxn = Sn1 y ( xn ∈ Xn , Sn1 y ∈ Yn ),        (4.40)
где Xn = IHTn ∩ L2 , а Yn – подпространство всех сплайнов первой
степени по сетке узлов (2.28). Тогда, следуя лемме 4.2, можно показать,
что операторы Gn ≡ Sn1 G : Xn −→ Yn непрерывно обратимы при
любых n ∈ N и
                   kG−1
                     n k = O (1),     G−1
                                       n : Yn −→ Xn .                 (4.41)
Поэтому в силу теоремы 6 гл. I [25] для уравнений Gx = y            (x ∈ X,
y ∈ Y ) и Gn xn = Sn1 y (xn ∈ Xn , Sn1 y ∈ Yn ) имеем
      kG−1 y − G−1 1              −1 1         −1    0
                n Sn yk2 6 (1 + kGn Sn Gk2 ) kG y − xn k2 ,           (4.42)
где x0n – произвольный элемент из Xn . Полагая x0n = Φn G−1 y , в силу
леммы 4.1 и соотношений (4.41), (4.42) для любой y ∈ W21 находим
оценку
                kG−1 y − G−1 1           T   −1
                          n Sn yk2 = O {En (G y)2 } .           (4.43)
Поэтому, применив к уравнениям (4.33) и (4.40) схему доказательства
теоремы 4.1, находим, что операторы Dn : Xn −→ Yn непрерывно
обратимы хотя бы при n > n0 ∈ N и обратные операторы ограничены
по норме в совокупности:
                  kDn−1 k = O (1),    Dn−1 : Yn −→ Xn .               (4.44)
Теперь к уравнениям (4.33) и (4.40) применим снова теорему 6 гл. I
книги [25]:
 kx∗ −x∗n k2 = kD−1 y −Dn−1 Sn1 yk2 6 kx∗ − x
                                            en k2 ·(1+kDn−1 Sn1 Dk2 ), (4.45)
    en – произвольный элемент из Xn = IHTn . Полагая x
где x                                                     en = Φn x∗
и пользуясь неравенствами (4.45), (4.44) и (4.5), находим требуемую
оценку (4.39). Из нее и прямых теорем теории полиномиальных при-
ближений (см., напр., [48, 57, 75]) следует первая из оценок (4.39◦ );
вторая из оценок (4.39◦ ) доказывается по аналогии с соответствующи-
ми неравенствами гл. I.


                                     124