Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

б) функции h
i
(s, σ) ≡ ∂
i
h(s, σ)/∂s
i
∈ W
r
H
α
по переменной σ, где
i = 0 и i = 1 ; в) с.и.у. (3.59) однозначно разрешимо в L
2
при любой
правой части из W
1
2
. Тогда приближенные решения ex
∗
n
(s) метода
сплайн–квадратур и соответствующие невязки сходятся со скоро-
стью
kx
∗
− ex
∗
n
k
L
2
³ ky − Aex
∗
n
k
W
1
2
=
= {O (n
−r−α
) при 0 < r +α 6 2 ; O (n
−2
) при r +α > 2 }. (4.24)
Доказательство. В силу (4.19) и условия б) имеем при r = 0 и
r = 1 соответственно
µ
n
6 (1 + π)
√
3 {H
σ
(h; α) + H
σ
(h
0
s
; α) }n
−α
,
(4.25)
µ
n
6 (1 + π)
√
3 {kh
0
σ
k
C[−π,π]
2
+ kh
00
sσ
k
C[−π,π]
2
}n
−1
.
Поэтому из теоремы 4.4 следует, что операторы
e
A
n
: X
n
−→ Y
n
из (4.15) непрерывно обратимы и обратные операторы ограничены по
норме в совокупности:
k
e
A
−1
n
k = O (1),
e
A
−1
n
: Y
n
−→ X
n
. (4.26)
Тогда в силу теоремы 6 гл. I [25] имеем
kx
∗
−ex
∗
n
k
2
6 (1+k
e
A
−1
n
S
1
n
Ak
2
) kx
∗
−exk
2
+k
e
A
−1
n
k·k
e
A
n
ex−A
n
exk
Y
, (4.27)
где ex – произвольный элемент из X
n
, а операторы
e
A
n
и A
n
опреде-
лены в (4.15) и (2.64). Отсюда и из (4.26), (4.5), (4.15), (2.64) следует
оценка
kx
∗
− ex
∗
n
k
2
= O {kx
∗
− exk
2
+ k(
e
T
n
− S
1
n
T ) exk
Y
}. (4.28)
Из хода доказательства теоремы 4.4 видно, что
k
e
T
n
− S
1
n
T k = O (1) ,
e
T
n
− S
1
n
T : X −→ Y
n
.
Поэтому в силу (4.28) имеем
kx
∗
− ex
∗
n
k
2
= O {E
1
n
(x
∗
)
2
+ k(
e
T
n
− S
1
n
T ) x
∗
k
Y
}. (4.29)
Очевидно, что в силу леммы 4.1
k(
e
T
n
− S
1
n
T ) x
∗
k
Y
6
1
X
i=0
kh
i
x
∗
− S
σ
n
(h
i
x
∗
)k
L
2
⊗L
2
. (4.30)
121
б) функции hi (s, σ) ≡ ∂ i h(s, σ)/∂si ∈ W r H α по переменной σ, где
i = 0 и i = 1 ; в) с.и.у. (3.59) однозначно разрешимо в L2 при любой
правой части из W21 . Тогда приближенные решения x        e∗n (s) метода
сплайн–квадратур и соответствующие невязки сходятся со скоро-
стью
                     kx∗ − xe∗n kL2 ³ ky − Ae
                                            x∗n kW 1 =
                                                          2
         −r−α                                      −2
 = { O (n       ) при 0 < r + α 6 2 ; O (n ) при r + α > 2 }.                 (4.24)
     Доказательство. В силу (4.19) и условия б) имеем при r = 0 и
r = 1 соответственно
                        √
            µn 6 (1 + π) 3 {Hσ (h; α) + Hσ (h0s ; α) } n−α ,
                                                                              (4.25)
                           √
            µn 6 (1 + π) 3 {kh0σ kC[−π,π]2 + kh00sσ kC[−π,π]2 } n−1 .
Поэтому из теоремы 4.4 следует, что операторы A en : Xn −→ Yn
из (4.15) непрерывно обратимы и обратные операторы ограничены по
норме в совокупности:
                    e−1
                   kA                    e−1
                      n k = O (1),       A n : Yn −→ Xn .                     (4.26)
Тогда в силу теоремы 6 гл. I [25] имеем
 kx∗ − x            e−1
       e∗n k2 6 (1+kA    1         ∗
                      n Sn Ak2 ) kx − x
                                            e−1
                                      ek2 +kA      e e −An x
                                              n k·kAn x    ekY , (4.27)
где x
    e – произвольный элемент из Xn , а операторы A     en и An опреде-
лены в (4.15) и (2.64). Отсюда и из (4.26), (4.5), (4.15), (2.64) следует
оценка
        kx∗ − x                 ek2 + k (Ten − Sn1 T ) x
              e∗n k2 = O {kx∗ − x                      ekY }.                 (4.28)
Из хода доказательства теоремы 4.4 видно, что
             kTen − Sn1 T k = O (1) ,        Ten − Sn1 T : X −→ Yn .
Поэтому в силу (4.28) имеем
                  e∗n k2 = O {En1 (x∗ )2 + k (Ten − Sn1 T ) x∗ kY }.
            kx∗ − x                                                           (4.29)
Очевидно, что в силу леммы 4.1
                                       1
                                       X
            k (Ten − Sn1 T ) x∗ kY 6         khi x∗ − Snσ (hi x∗ )kL2 ⊗L2 .   (4.30)
                                       i=0




                                        121

Страницы