Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 120 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

если же x
∗
∈ W
r
H
α
(r > 0, 0 < α 6 1) , то
kx
∗
− x
∗
n
k
C
=
O (n
−r−α
ln n) при 0 < r + α 6 2,
O (n
−2
ln n) при r + α > 2.
4.2. Метод сплайн–квадратур. Для метода сплайн–квадратур
(2.29), (2.59), (2.69) при дополнительных условиях относительно ре-
гулярного ядра h(s, σ) по переменной σ справедливы утверждения,
аналогичные теоремам 4.1 – 4.3. Для иллюстрации приводятся следу-
ющие результаты.
Теорема 4.4. Пусть функции y(s) ∈ W
1
2
[−π, π] и h(s, σ),
h
0
s
(s, σ) ∈ C[−π, π]
2
. Если же уравнение (2.59) однозначно разреши-
мо в L
2
при любой правой части из W
1
2
, то при всех n, начиная с
некоторого, СЛАУ (2.69) также однозначно разрешима. Приближен-
ные решения ex
∗
n
(s) метода сплайн–квадратур сходятся к точному
решению x
∗
(s) в среднем со скоростью
kx
∗
− ex
∗
n
k
2
= O {E
1
n
(x
∗
)
2
+ ω
σ
(h; 1/n)
∞
+ ω
σ
(h
0
s
; 1/n)
∞
}. (4.14)
Доказательство. СЛАУ (2.69) эквивалентна операторному
уравнению
e
A
n
x
n
≡ G
n
x
n
+
e
T
n
x
n
= S
1
n
y ( x
n
∈ X
n
, S
1
n
y ∈ Y
n
), (4.15)
где
e
T
n
x
n
≡
S
1
n
2n + 1
n
X
k=−n
h(s, s
k
)x
n
(s
k
), x
n
∈ X
n
⊂ X. (4.16)
Поскольку в силу (2.29), (2.59) и (2.61)
S
1
n
T x
n
=
S
1
n
2n + 1
n
X
k=−n
h(s, ξ
k
)x
n
(s
k
), x
n
∈ X
n
, (4.17)
где s
k−1
< ξ
k
< s
k+1
, то из (4.3), (4.17) и (4.15), (4.16) для любого
x
n
∈ X
n
находим
kA
n
x
n
−
e
A
n
x
n
k
Y
= k
S
1
n
2n + 1
n
X
k=−n
[h(s, ξ
k
) − h(s, s
k
)] x
n
(s
k
)k
Y
.
Отсюда и из леммы 4.1 для любого x
n
∈ X
n
имеем
kA
n
x
n
−
e
A
n
x
n
k
Y
6 k
1
2n + 1
n
X
k=−n
[h(s, ξ
k
) − h(s, s
k
)] x
n
(s
k
)k
Y
6
119
если же x∗ ∈ W r H α (r > 0, 0 < α 6 1) , то
                    
                     O (n−r−α ln n)      при            0 < r + α 6 2,
        ∗    ∗
      kx − xn kC =
                    
                        O (n−2 ln n)      при             r + α > 2.

     4.2. Метод сплайн–квадратур. Для метода сплайн–квадратур
(2.29), (2.59), (2.69) при дополнительных условиях относительно ре-
гулярного ядра h(s, σ) по переменной σ справедливы утверждения,
аналогичные теоремам 4.1 – 4.3. Для иллюстрации приводятся следу-
ющие результаты.
       Теорема 4.4. Пусть функции y(s) ∈ W21 [−π, π] и h(s, σ),
h0s (s, σ) ∈ C[−π, π]2 . Если же уравнение (2.59) однозначно разреши-
мо в L2 при любой правой части из W21 , то при всех n, начиная с
некоторого, СЛАУ (2.69) также однозначно разрешима. Приближен-
ные решения x   e∗n (s) метода сплайн–квадратур сходятся к точному
решению x∗ (s) в среднем со скоростью
      kx∗ − x
            e∗n k2 = O {En1 (x∗ )2 + ωσ (h; 1/n)∞ + ωσ (h0s ; 1/n)∞ }.    (4.14)

    Доказательство. СЛАУ (2.69) эквивалентна операторному
уравнению
        en xn ≡ Gn xn + Ten xn = S 1 y ( xn ∈ Xn , S 1 y ∈ Yn ),
        A                                                                 (4.15)
                                  n                 n

где
                           n
                      Sn1 X
         Ten xn ≡            h(s, sk )xn (sk ),   xn ∈ Xn ⊂ X.            (4.16)
                    2n + 1
                            k=−n
Поскольку в силу (2.29), (2.59) и (2.61)
                                  n
                             Sn1 X
              Sn1 T xn   =          h(s, ξk )xn (sk ),    xn ∈ Xn ,       (4.17)
                           2n + 1
                                   k=−n

где sk−1 < ξk < sk+1 , то из (4.3), (4.17) и (4.15), (4.16) для любого
xn ∈ Xn находим
                               1  n
                                  X
               en xn k = k   Sn
      kAn xn − A                    [h(s, ξk ) − h(s, sk )] xn (sk )kY .
                      Y
                           2n + 1
                                          k=−n

Отсюда и из леммы 4.1 для любого xn ∈ Xn имеем
                                  n
                                  X
               en xn k 6 k   1
      kAn xn − A                    [h(s, ξk ) − h(s, sk )] xn (sk )kY 6
                      Y
                           2n + 1
                                      k=−n

                                          119

Страницы