Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 3.5. Если уравнение (2.56) имеет решение x
∗
∈ C
2π
при данной правой части y ∈ C
2π
, то для погрешности в L
2
метода
сплайн–коллокации I–порядка справедлива оценка
kx
∗
− x
∗
n
k
2
= O (n kx
∗
− S
1
n
x
∗
k
2
). (3.13)
В то же время для невязки справедлива равномерная оценка
ky − Gx
∗
n
k
∞
= O {ky − S
1
n
yk
∞
+ n
−1/2
kx
∗
n
k
2
}, (3.14)
где kx
∗
n
k
2
6 kx
∗
k
2
+ O (n kx
∗
− S
1
n
x
∗
k
2
) , а оператор S
1
n
определен в
(2.33).
Следствие. Если x
∗
∈ W
1
2
(для этого достаточно, чтобы y ∈
W
2
2
), то
kx
∗
− x
∗
n
k
2
= O (1), ky − Gx
∗
n
k
∞
= O (n
−1/2
). (3.15)
Доказательство. Используя способ доказательства теорем 2.5 и
2.4, последовательно находим
kx
∗
− x
∗
n
k
2
6 kx
∗
− S
1
n
x
∗
k
2
+ kS
1
n
[x
∗
− x
∗
n
]k
2
6 kx
∗
− S
1
n
x
∗
k
2
+
+kεk
3
6 kx
∗
− S
1
n
x
∗
k
2
+ kB
−1
n
k
3
krk
3
6 kx
∗
− S
1
n
x
∗
k
2
+
+τ
n,3
krk
1
6 kx
∗
− S
1
n
x
∗
k
2
+ τ
n,3
kG(x
∗
− S
1
n
x
∗
)k
∞
6
6 kx
∗
− S
1
n
x
∗
k
2
· (1 + τ
n,3
kGk
2→∞
), (3.16)
где kGk
2→∞
≡ kGk
L
2
→C
6
2
π
R
π/2
0
ln
2
|sin σ|dσ < ∞. Из (3.16) и (2.56
0
)
следует оценка (3.13).
Для доказательства (3.14) заметим, что функция
Gx
∗
n
∈
W
1
2
, а
следовательно, Gx
∗
n
∈ H
1/2
(b
0
kx
∗
n
k
2
) , где b
0
– положительная посто-
янная, не зависящая от n и x
∗
n
. Тогда с учетом аппроксимативных
свойств оператора S
1
n
имеем
ky − Gx
∗
n
k
∞
6 ky −S
1
n
yk
∞
+ kGx
∗
n
− S
1
n
Gx
∗
n
k
∞
6
6 ky −S
1
n
yk
∞
+ b
0
n
−1/2
kx
∗
n
k
2
,
т.е. оценка (3.14) доказана.
Если x
∗
∈ W
1
2
, то легко показать, что y ∈ W
2
2
(и наоборот), а
следовательно, y ∈ W
1
H
1/2
. Тогда
kx
∗
− S
1
n
x
∗
k
2
= O (n
−1
), ky − S
1
n
yk
∞
= O (n
−3/2
),
kx
∗
n
k
2
6 kx
∗
k
2
+ O(1) = O(1).
Отсюда и из (3.13), (3.14) получаем утверждения следствия.
115
     Теорема 3.5. Если уравнение (2.56) имеет решение x∗ ∈ C2π
при данной правой части y ∈ C2π , то для погрешности в L2 метода
сплайн–коллокации I–порядка справедлива оценка
                     kx∗ − x∗n k2 = O (n kx∗ − Sn1 x∗ k2 ).                (3.13)
В то же время для невязки справедлива равномерная оценка
             ky − Gx∗n k∞ = O {ky − Sn1 yk∞ + n−1/2 kx∗n k2 },             (3.14)
где kx∗n k2 6 kx∗ k2 + O (n kx∗ − Sn1 x∗ k2 ) , а оператор Sn1 определен в
(2.33).
     Следствие. Если x∗ ∈ W21 (для этого достаточно, чтобы y ∈
W22 ), то
             kx∗ − x∗n k2 = O (1),      ky − Gx∗n k∞ = O (n−1/2 ).         (3.15)

      Доказательство. Используя способ доказательства теорем 2.5 и
2.4, последовательно находим
     kx∗ − x∗n k2 6 kx∗ − Sn1 x∗ k2 + kSn1 [x∗ − x∗n ]k2 6 kx∗ − Sn1 x∗ k2 +
         +kεk3 6 kx∗ − Sn1 x∗ k2 + kBn−1 k3 krk3 6 kx∗ − Sn1 x∗ k2 +
          +τn,3 krk1 6 kx∗ − Sn1 x∗ k2 + τn,3 kG(x∗ − Sn1 x∗ )k∞ 6
                  6 kx∗ − Sn1 x∗ k2 · (1 + τn,3 kGk2→∞ ),          (3.16)
                             R π/2
где kGk2→∞ ≡ kGkL2 →C 6 π2 0 ln 2 | sin σ| dσ < ∞ . Из (3.16) и (2.560 )
следует оценка (3.13).
    Для доказательства (3.14) заметим, что функция Gx∗n ∈ W21 , а
следовательно, Gx∗n ∈ H 1/2 (b0 kx∗n k2 ) , где b0 – положительная посто-
янная, не зависящая от n и x∗n . Тогда с учетом аппроксимативных
свойств оператора Sn1 имеем
           ky − Gx∗n k∞ 6 ky − Sn1 yk∞ + kGx∗n − Sn1 Gx∗n k∞ 6
                      6 ky − Sn1 yk∞ + b0 n−1/2 kx∗n k2 ,
т.е. оценка (3.14) доказана.
      Если x∗ ∈ W21 , то легко показать, что y ∈ W22 (и наоборот), а
следовательно, y ∈ W 1 H 1/2 . Тогда
          kx∗ − Sn1 x∗ k2 = O (n−1 ),     ky − Sn1 yk∞ = O (n−3/2 ),
                       kx∗n k2 6 kx∗ k2 + O(1) = O(1).
Отсюда и из (3.13), (3.14) получаем утверждения следствия.

                                        115

Страницы