Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 108 стр.

Для этих уравнений весьма содержательные результаты по методу
сплайн–коллокации первого порядка получены в работах В.А. Цецохо
и В.В. Воронина (см., напр., [10, 78]). Из их результатов для уравне-
ний (2.55) и (2.56) можно вывести следующие полезные неравенства
соответственно
                    kBn−1 k3 6 d1 n1−γ , 0 < γ < 1,            (2.550 )
                                  kBn−1 k3 6 d2 n,                       (2.560 )
где di (i = 1, 7) – положительные постоянные, не зависящие от n .
Отсюда и из полученных выше результатов следует
    Теорема 2.6. Справедливы утверждения:
    а) Если решение уравнения (2.55) таково, что kx∗ − Sn x∗ k∞ =
= o(nγ−1 ) , то приближенные решения сходятся со скоростью
     max{kx∗ − x∗n k2 , k~x∗ − ~x∗n k3 } = O {n1−γ kx∗ − Sn x∗ k∞ };     (2.57)
если же x∗ (s) ∈ W r H α (r = 0 или 1; 0 < α 6 1), то при r + α + γ > 1
   max{kx∗ − x∗n k2 , k~x∗ − ~x∗n k3 } = H(x∗(r) ; α) · O (n1−r−α−γ ).   (2.570 )
    б) Если решение уравнения (2.56) таково, что kx∗ − Sn x∗ k∞ =
= o(n−1 ), то приближенные решения сходятся со скоростью
      max{kx∗ − x∗n k2 , k~x∗ − ~x∗n k3 } = O {n kx∗ − Sn x∗ k∞ };       (2.58)
если же x∗ (s) ∈ W 1 H α (0 < α 6 1), то
       max{kx∗ − x∗n k2 , k~x∗ − ~x∗n k3 } = H(x∗0 ; α) · O (n−α ),      (2.580 )
где ~x∗ − ~x∗n = {x∗ (sk ) − x∗n (sk )}n−n .
      Теперь рассмотрим применение метода сплайн–коллокации пер-
вого порядка к полному уравнению вида
                Zπ ¯               ¯                Zπ
              1        ¯ s − σ¯                   1
   Ax ≡ −          ln ¯¯sin        ¯ · x(σ) dσ +       h(s, σ)x(σ) dσ = y(s),
             2π              2 ¯                 2π
              −π                                     −π
                                                                (2.59)
где y и h – известные непрерывные 2π–периодические функции по
каждой из переменных. Его приближенное решение будем искать в
виде сплайна (2.29), который будем определять из условий A(x∗n ; sj ) =
y(sj ), j = −n, n . Эти условия эквивалентны, очевидно, СЛАУ порядка
2n + 1 относительно коэффициентов αk , k = −n, n :
                n
                X                 n
                                  X
                      bj−k αk +          hjk αk = yj ,    j = −n, n;     (2.60)
               k=−n               k=−n

                                          107