Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 105 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

6 kG(x
∗
− S
n
x
∗
)k
∞
6 b kx
∗
− S
n
x
∗
k
∞
; (2.39)
krk
2
=
1
2n + 1
n
X
j=−n
|r
j
| 6 krk
1
6 b kx
∗
− S
n
x
∗
k
∞
; (2.40)
krk
3
=
(
1
2n + 1
n
X
j=−n
|r
j
|
2
)
1/2
6 krk
1
6 b kx
∗
− S
n
x
∗
k
∞
. (2.41)
Из неравенств (2.38) – (2.41) находим оценку
kεk
i
6 b τ
n,i
kx
∗
− S
n
x
∗
k
∞
, i = 1, 3, (2.42)
откуда и следует требуемое утверждение.
Теорема 2.5. Если уравнения (2.1) и (2.30) имеют решения
x
∗
(s) ∈ C
2π
и ~x
n
∗
= {α
∗
k
}
n
−n
∈ IR
2n+1
, то для погрешности при-
ближенного решения x
∗
n
(s) в пространствах C
2π
и L
2
[−π, π] спра-
ведливы оценки соответственно
kx
∗
− x
∗
n
k
∞
6 kx
∗
− S
n
x
∗
k
∞
+ kεk
1
, (2.43)
kx
∗
− x
∗
n
k
2
6 kx
∗
− S
n
x
∗
k
2
+ kεk
3
, (2.44)
где ε = ~x
∗
−~x
∗
n
– вектор погрешности.
Следствие 1. Если выполнено условие (2.34) при i = 1, то
приближенные решения x
∗
n
(s) сходятся равномерно со скоростью
kx
∗
− x
∗
n
k
∞
= O {τ
n,1
kx
∗
− S
n
x
∗
k
∞
}. (2.45)
Следствие 2. Если G – ограниченный оператор из L
2
в C
2π
и выполнено условие (2.34) при i = 3, то приближенные решения
сходятся в среднем со скоростью
kx
∗
− x
∗
n
k
2
= O {τ
n,3
kx
∗
− S
n
x
∗
k
2
}. (2.46)
Доказательство. В условиях теоремы справедливы неравенства
kx
∗
− x
∗
n
k
X
6 kx
∗
− S
n
x
∗
k
X
+ kS
n
[x
∗
− x
∗
n
]k
X
, (2.47)
где X = C
2π
или L
2
, а оператор S
n
= S
1
n
определен в (2.33). Известно
(см., напр., в [11]), что
kS
n
(f; s)k
C
6 max
−n6k6n
|f(s
k
)|, f ∈ C
2π
. (2.48)
Очевидно, что из (2.47) при X = C
2π
и (2.48) при f(s) = x
∗
(s)−x
∗
n
(s)
следует оценка (2.43). Оценка (2.44) следует из (2.47) при X = L
2
и из
104
               6 kG(x∗ − Sn x∗ )k∞ 6 b kx∗ − Sn x∗ k∞ ;                     (2.39)
                       Xn
                 1
        krk2 =             |rj | 6 krk1 6 b kx∗ − Sn x∗ k∞ ;                (2.40)
               2n + 1 j=−n
              (           n
                                       )1/2
                    1     X
     krk3 =                   |rj |2          6 krk1 6 b kx∗ − Sn x∗ k∞ .   (2.41)
                  2n + 1 j=−n
Из неравенств (2.38) – (2.41) находим оценку
                     kεki 6 b τn,i kx∗ − Sn x∗ k∞ ,      i = 1, 3,          (2.42)
откуда и следует требуемое утверждение.
     Теорема 2.5. Если уравнения (2.1) и (2.30) имеют решения
x (s) ∈ C2π и ~xn ∗ = {αk∗ }n−n ∈ IR2n+1 , то для погрешности при-
 ∗

ближенного решения x∗n (s) в пространствах C2π и L2 [−π, π] спра-
ведливы оценки соответственно
                      kx∗ − x∗n k∞ 6 kx∗ − Sn x∗ k∞ + kεk1 ,                (2.43)
                      kx∗ − x∗n k2 6 kx∗ − Sn x∗ k2 + kεk3 ,                (2.44)
где ε = ~x∗ − ~x∗n – вектор погрешности.
     Следствие 1. Если выполнено условие (2.34) при i = 1, то
приближенные решения x∗n (s) сходятся равномерно со скоростью
                     kx∗ − x∗n k∞ = O {τn,1 kx∗ − Sn x∗ k∞ }.               (2.45)

    Следствие 2. Если G – ограниченный оператор из L2 в C2π
и выполнено условие (2.34) при i = 3, то приближенные решения
сходятся в среднем со скоростью
                     kx∗ − x∗n k2 = O {τn,3 kx∗ − Sn x∗ k2 }.               (2.46)

     Доказательство. В условиях теоремы справедливы неравенства
              kx∗ − x∗n kX 6 kx∗ − Sn x∗ kX + kSn [x∗ − x∗n ]kX ,           (2.47)
где X = C2π или L2 , а оператор Sn = Sn1 определен в (2.33). Известно
(см., напр., в [11]), что
                   kSn (f ; s)kC 6 max |f (sk )|,         f ∈ C2π .         (2.48)
                                       −n6k6n

Очевидно, что из (2.47) при X = C2π и (2.48) при f (s) = x∗ (s)−x∗n (s)
следует оценка (2.43). Оценка (2.44) следует из (2.47) при X = L2 и из

                                          104

Страницы