Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 102 стр.

некоторого, операторы An : Xn −→ Xn линейно обратимы. При-
ближенные решения x∗n = A−1 n S n y сходятся к точному решению x
                                                                 ∗

уравнения (2.21) со скоростью
               kx∗ − x∗n k2 = O { (ρn + σn ) γn−2 } = o(1).      (2.25)

    Доказательство. Уравнения (2.21) и (2.24) эквивалентны опе-
раторным уравнениям соответственно
             Kx ≡ x + G−1 T x = G−1 y ( x, G−1 y ∈ L2 ),         (2.210 )
   Kn xn ≡ xn + G−1            −1              −1
                 n S n T xn = Gn S n y ( xn , Gn S n y ∈ Xn ).   (2.240 )
В силу условия б) оператор G−1 T : L2 −→ L2 является вполне непре-
рывным. Поэтому существует непрерывный обратный K −1 : L2 −→ L2 .
В силу теоремы 2.2 и условия а) имеем
 kG−1 y −G−1             −2   −1                −2
          n S n yk = O (γn ω(G y; 1/n)2 ) = O (γn σn ) = o(1). (2.26)

Для любого xn ∈ Xn (xn 6= 0) благодаря теореме 2.2 и условию б)
находим
            kKxn − Kn xn k2 = kG−1 T xn − G−1
                                           n S n T x n k2 6

 6 kxn k2 kG−1 T u − G−1                         −2   −1
                      n S n T uk2 6 kxn k2 · O {γn ω(G T u; 1/n)2 } 6

                6 kxn k2 · O (ρn /γn2 ),   u = xn /kxn k2 .
Поэтому
                 kK − Kn kXn →X = O (ρn /γn2 ) = o(1).           (2.27)
Применив к уравнениям (2.210 ) и (2.240 ) теорему 7 гл. I [25], в силу
(2.26) и (2.27) получим требуемое утверждение.
     Для применения теорем 2.2 и 2.3 необходимо знать хотя бы оцен-
ку величины γn2 . Такие оценки могут быть установлены либо само-
стоятельно, либо с помощью аналогичных оценок для метода сплайн–
коллокации. Например, справедлива
     Лемма 2.1. Если g(σ) = ln| sin(σ/2)| , то γn−2 = O (n) ; если
же g(σ) = | sin(σ/2)|−γ или g(σ) = |ctg (σ/2)|γ , 0 < γ < 1 , то
γn−2 = O (n1−γ ) , причем в обоих случаях СЛАУ (2.8), (2.9) имеет
единственное решение при любых n ∈ N.
    Замечание 2.2. а) Лемма 2.1 позволяет конкретизировать те-
оремы 2.1 – 2.3 в случае конкретных ядер; б) результаты по методу
сплайн–подобластей нулевого порядка, аналогичные теоремам 2.1 – 2.3
и лемме 2.1, можно получить также для уравнения (0.1).

                                    101