Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 100 стр.

с учетом (2.12), (2.13) последовательно находим
              (Gn xn , xn ) = (S n Gxn , xn ) = (Gxn , S n ∗ xn ) =
                 = (Gxn , S n xn ) = (Gxn , xn ) > γn2 kxn k22 ,           (2.14)
где S n ∗ – сопряженный с S n оператор. Отсюда для любого xn ∈ Xn
получаем неравенство
                            kGn xn k2 > γn2 kxn k2 .                       (2.15)
Из (2.15) следует, что оператор Gn : Xn −→ Xn ⊂ L2 имеет левый
линейный обратный G−1           −1     −2
                        nl и kGnl k 6 γn (n ∈ N) . Так как Gn :
Xn −→ Xn с dimXn = n < ∞ , то существует также правый линейный
                    −1
обратный G−1               −1    −1
            nr и Gnl = Gnr = Gn , причем

                         kG−1      −2
                           n k2 6 γn  ( n ∈ N ).                           (2.16)
Эти соотношения приводят к справедливости теоремы 2.1.
     Замечание 2.1. Следует отметить, что γn2 → 0 при n → ∞ , что́
хорошо согласуется с неограниченностью оператора G−1 в L2 и тем
легко доказываемым фактом, что Gn = S n G : L2 −→ L2 сходится
(по крайней мере, сильно) к оператору G : L2 −→ L2 ; более того,
поскольку S n → E сильно в L2 , а оператор G во многих случаях
(напр., для ядер (0.4), (0.5)) является вполне непрерывным, то в ука-
занных случаях Gn → G равномерно в L2 , т.е. kGn − Gk2 → 0 при
n → ∞.
    Теорема 2.2. Если в условиях теоремы 2.1 решение x∗ ∈ L2 [0, 2π]
уравнения (2.1) таково, что
                            ω(x∗ ; 1/n)2 = o(γn2 ),                        (2.17)
                                                       Pn
то приближенные решения x∗n (s) = G−1
                                   n S ny =
                                                               ∗
                                                          k=1 βk ψk (s)   сходят-
ся в среднем со скоростью
                   kx∗ − x∗n k2 = O {γn−2 ω(x∗ ; 1/n)2 }.                  (2.18)

    Доказательство. В силу (2.16) для уравнений (2.10 ) и (2.80 ) из
теоремы 6 гл. I [25] следует оценка
             kx∗ − x∗n k2 6 (1 + kG−1            ∗       ∗
                                   n S n Gk2 ) kx − S n x k2 .             (2.19)
Поскольку
    kG−1                 −1
      n S n GkL2 →L2 6 kGn kXn →Xn · kS n kL2 →L2 · kGkL2 →L2 ,       n ∈ N,

                                       99