Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 97 стр.

где ψ ∗ ∈ L2 [−1, 1] – новая искомая функция, не обращающаяся в
нуль в точках t = ±1 . В этом случае аналоги приведенных выше
результатов можно получить, выбирая в качестве основного простран-
ства X пространство Lp [−1, 1] с показателем p ∈ (1, 2) ; однако в
этом случае проще всего свести с.и.у. (0.1), как это указано в §3 гл. I,
к частному случаю с.и.у. (0.2) относительно новой искомой функции
x(σ) = ψ(cos σ) и пользоваться результатами следующих параграфов.


                     §2. Периодические уравнения
    2.1. Сплайн–методы коллокации и подобластей нулевого
порядка. Рассмотрим слабо с.и.у. I-рода (0.2), записанное в виде
             Z 2π
           1
    Gx ≡          g(|s − σ|)x(σ) dσ = y(s), −∞ < s < +∞,       (2.1)
          2π 0
где y(s) ∈ C2π , g(s) ∈ L1 [0, 2π] – известные функции, а x(s) – ис-
комая функция, которая разыскивается в пространстве 2π –периоди-
ческих функций L2 [0, 2π] с обычной нормой kxk = kxk2 .
     Сразу отметим, что для уравнения (2.1) справедливы результаты,
вполне аналогичные теоремам 1.1 – 1.4. В частности, для ядер (0.4),
(0.5) имеет место утверждение, аналогичное лемме 1.1 и теореме 1.4.
Здесь узлы сплайна и узлы коллокации определяются формулами со-
ответственно
          2kπ                    2j − 1
     sk =     , k = 0, n; s̄j =         π, j = 1, n, n ∈ N,    (2.2)
           n                        n
а функции ψk (s) вводятся как и выше. Однако наличие дополни-
тельной информации, т.е. периодичность функций g(σ) и y(s) , поз-
воляет получить и дополнительные результаты. Например, для ядра
                                                   k=1,n
g(σ) = − ln|sin(σ/2)| элементы матрицы An = [aj−k ]j=1,n в рассмат-
риваемом случае можно представить в виде
                      (j−k+ 12 )δ                 (k−j+ 12 )δ
                         Z                           Z
                 1
       aj−k   =                    g(|σ|) dσ =                 g(|σ|) dσ = ak−j =
                2π
                     (j−k− 12 )δ                 (k−j− 12 )δ

                             ∞
           ln 2    1 X sin l(j − k + 12 )δ + sin l(k − j + 12 )δ
         =      +                                                ,                  (2.3)
            n     2π                       l2
                             l=1
где δ = 2π/n . Эта формула позволяет легко доказать, что матрица
An является невырожденной при всех n > 2 и для третьей нормы

                                           96