Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Положим здесь X(1) = M[−1, 1] , X(2) = L
1
[−1, 1] , X(3) =
= L
2
[−1, 1] с нормами соответственно
kϕk
M
= sup
−16t61
|ϕ(t)| ≡ kϕk
∞
, ϕ ∈ X(1),
kϕk
L
1
=
1
2
Z
+1
−1
|ϕ(t)|dt ≡ kϕk
1
, ϕ ∈ X(2),
kϕk
L
2
=
µ
1
2
Z
+1
−1
|ϕ(t)|
2
dt
1/2
≡ kϕk
2
, ϕ ∈ X(3).
Теорема 1.2. В условиях теоремы 1.1 приближенные решения
(1.3
∗
) сходятся соответственно равномерно (при i = 1 ) в среднем
(при i = 2 ) и в среднем квадратичном (при i = 3 ) со скоростями
соответственно
kϕ
∗
− ϕ
∗
n
k
X(i)
= O
©
θ
n,i
ω (ϕ
∗
; 1/n)
C
ª
= o (1), i = 1, 3. (1.18)
Доказательство. В силу (1.10), (1.1), (1.2), (1.17) справедливы
неравенства
kϕ
∗
− ϕ
∗
n
k
X(i)
6 kϕ
∗
− S
n
ϕ
∗
k
X(i)
+ kS
n
[ϕ
∗
− ϕ
∗
n
]k
X(i)
, (1.19)
kϕ
∗
− S
n
ϕ
∗
k
X(i)
6 kϕ
∗
− S
n
ϕ
∗
k
X(1)
6 ω(ϕ
∗
; 1/n)
C
, i = 2, 3. (1.20)
Функции ϕ ∈ C[−1, 1] поставим в соответствие n –мерный вектор
~ϕ = (ϕ(
¯
t
1
, . . . , ϕ(
¯
t
n
) ). Поскольку S
n
(ϕ; t) = ϕ(
¯
t
k
) ≡ ϕ
k
для любой
точки t ∈ (t
k−1
, t
k
], k = 1, n, то для любой функции ϕ ∈ C[−1, 1]
легко находим
kS
n
(ϕ; t)k
X(1)
= max
16k6n
|ϕ
k
| = k~ϕk
1
6 kϕk
∞
; (1.21)
kS
n
(ϕ; t)k
X(2)
=
1
2
Z
+1
−1
|S
n
(ϕ; t)|dt 6
1
2
n
X
k=1
|ϕ
k
|
Z
+1
−1
ψ
k
(t) dt =
=
1
n
n
X
k=1
|ϕ
k
| = k~ϕk
2
6 k~ϕk
3
6 k~ϕk
1
6 kϕk
∞
; (1.22)
kS
n
(ϕ; t)k
X(3)
=
µ
1
2
Z
+1
−1
|S
n
(ϕ; t)|
2
dt
1/2
=
=
Ã
1
2
n
X
k=1
n
X
j=1
ϕ
k
ϕ
j
Z
+1
−1
ψ
k
(t) ψ
j
(t) dt
!
1/2
=
92
     Положим здесь X(1) = M [−1, 1] ,                     X(2) = L1 [−1, 1] ,           X(3) =
= L2 [−1, 1] с нормами соответственно
                   kϕkM = sup |ϕ(t)| ≡ kϕk∞ ,                  ϕ ∈ X(1),
                                 −16t61
                           Z
                          1 +1
                 kϕkL1 =        |ϕ(t)| dt ≡ kϕk1 , ϕ ∈ X(2),
                          2 −1
                      µ Z +1            ¶1/2
                        1           2
              kϕkL2 =         |ϕ(t)| dt      ≡ kϕk2 , ϕ ∈ X(3).
                        2 −1
     Теорема 1.2. В условиях теоремы 1.1 приближенные решения
    ∗
(1.3 ) сходятся соответственно равномерно (при i = 1 ) в среднем
(при i = 2 ) и в среднем квадратичном (при i = 3 ) со скоростями
соответственно
                        ©                  ª
     kϕ∗ − ϕ∗n kX(i) = O θn,i ω (ϕ∗ ; 1/n)C = o (1), i = 1, 3. (1.18)

    Доказательство. В силу (1.10), (1.1), (1.2), (1.17) справедливы
неравенства
          kϕ∗ − ϕ∗n kX(i) 6 kϕ∗ − Sn ϕ∗ kX(i) + kSn [ϕ∗ − ϕ∗n ]kX(i) ,                  (1.19)
   kϕ∗ − Sn ϕ∗ kX(i) 6 kϕ∗ − Sn ϕ∗ kX(1) 6 ω(ϕ∗ ; 1/n)C ,                 i = 2, 3.     (1.20)
Функции ϕ ∈ C[−1, 1] поставим в соответствие n –мерный вектор
ϕ
~ = (ϕ(t̄1 , . . . , ϕ(t̄n ) ). Поскольку Sn (ϕ; t) = ϕ(t̄k ) ≡ ϕk для любой
точки t ∈ (tk−1 , tk ], k = 1, n, то для любой функции ϕ ∈ C[−1, 1]
легко находим
                   kSn (ϕ; t)kX(1) = max |ϕk | = k~ϕk1 6 kϕk∞ ;                         (1.21)
                                           16k6n
                                Z                          n         Z
                            1       +1
                                                          1X              +1
        kSn (ϕ; t)kX(2)   =              |Sn (ϕ; t)| dt 6    |ϕk |             ψk (t) dt =
                            2     −1                      2              −1
                                                          k=1
                          n
                          X
                      1
                  =             |ϕk | = k~
                                         ϕk2 6 k~
                                                ϕk3 6 k~
                                                       ϕk1 6 kϕk∞ ;                     (1.22)
                      n
                          k=1
                                    µ Z +1                   ¶1/2
                                      1                  2
                  kSn (ϕ; t)kX(3) =          |Sn (ϕ; t)| dt       =
                                      2 −1
                    Ã n n               Z +1                 !1/2
                       1 X   X
                  =               ϕk ϕj      ψk (t) ψj (t) dt     =
                       2     j=1         −1
                           k=1



                                                92

Страницы