Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 5.4. Пусть P
n
∈ P
(1)
n
, y ∈ L
2
и c
k
(h) 6= −1, k =
0, ±1, . . . Тогда как точное уравнение (5.35), так и приближенные
уравнения (5.36) при любых n = 0, 1, . . . однозначно разрешимы в про-
странствах соответственно L
2
и IH
T
n
⊂ L
2
. Приближенные ре-
шения x
∗
n
= = K
−1
n
P
n
y сходятся к точному решению x
∗
= K
−1
y в
среднем, причем
min
k=0,±1,...
|1 + c
k
(h)|
−1
6 kx
∗
− x
∗
n
k
2
/ky − P
n
yk
2
6 max
k=0,±1,...
|1 + c
k
(h)|
−1
,
(5.38)
kx
∗
− x
∗
n
k
2
6 E
T
n
(y)
2
kE −P
n
k
2
/ min
k=0,±1,...
|1 + c
k
(h)|. (5.39)
Доказательство. Представляя функции x(s) и y(s) ∈ L
2
[0, 2π]
через их ряды Фурье и подставляя их в уравнение (5.35), с учетом
полноты тригонометрической системы функций находим
c
k
(x) = c
k
(y)/[1 + c
k
(h)], k = 0, ±1, . . . , (5.40)
где c
k
(ϕ) – комплексные коэффициенты Фурье функции ϕ(σ) ∈
L
1
[0, 2 π]. Очевидно, что функция
x
∗
(s) =
∞
X
k=−∞
c
k
(y)
1 + c
k
(h)
e
iks
≡
∞
X
k=−∞
c
k
(x
∗
) e
iks
(5.41)
является единственным решением уравнения (5.35).
Из (5.41) находим неравенства
kx
∗
k
2
=kK
−1
yk
2
=
(
∞
X
k=−∞
¯
¯
¯
¯
c
k
(y)
1 + c
k
(h)
¯
¯
¯
¯
2
)
1/2
6
½
kyk
2
min
k=0,±1,...
|1 + c
k
(h)|
¾
,
kx
∗
k
2
= kK
−1
yk
2
> kyk
2
/ max
k=0,±1,...
|1 + c
k
(h)|.
Отсюда, в свою очередь, следуют неравенства
kK
−1
k
2
6 max
k=0,±1,...
|1 + c
k
(h)|
−1
, kKk
2
6 max
k=0,±1,...
|1 + c
k
(h)|. (5.42)
Заметим, что последнее неравенство легко выводится также из оче-
видной формулы
kKxk
2
2
=
∞
X
k=−∞
|c
k
(x)|
2
· |1 + c
k
(h)|
2
, x ∈ L
2
.
Поскольку P
2
n
= P
n
, то для любого x
n
∈ IH
T
n
имеем P
n
Hx
n
= Hx
n
.
Тогда приближенное уравнение (5.36) принимает очень простой вид
K
n
x
n
≡ x
n
+ Hx
n
= P
n
y (x
n
, P
n
y ∈ IH
T
n
, P
n
∈ P
(1)
n
). (5.43)
84
                                                     (1)
     Теорема 5.4. Пусть Pn ∈ Pn , y ∈ L2 и ck (h) 6= −1, k =
0, ±1, . . . Тогда как точное уравнение (5.35), так и приближенные
уравнения (5.36) при любых n = 0, 1, . . . однозначно разрешимы в про-
странствах соответственно L2 и IHTn ⊂ L2 . Приближенные ре-
шения x∗n = = Kn−1 Pn y сходятся к точному решению x∗ = K −1 y в
среднем, причем
   min |1 + ck (h)|−1 6 kx∗ − x∗n k2 /ky − Pn yk2 6 max |1 + ck (h)|−1 ,
 k=0,±1,...                                                          k=0,±1,...
                                                                                   (5.38)
              ∗
        kx −      x∗n k2   6   EnT (y)2 kE   − Pn k2 / min |1 + ck (h)|.           (5.39)
                                                       k=0,±1,...

    Доказательство. Представляя функции x(s) и y(s) ∈ L2 [0, 2π]
через их ряды Фурье и подставляя их в уравнение (5.35), с учетом
полноты тригонометрической системы функций находим
                        ck (x) = ck (y)/[1 + ck (h)], k = 0, ±1, . . . ,           (5.40)
где ck (ϕ) – комплексные коэффициенты Фурье функции                               ϕ(σ) ∈
L1 [0, 2π]. Очевидно, что функция
                                ∞
                                X                     ∞
                                                      X
                    ∗                   ck (y)    iks
                  x (s) =                        e ≡    ck (x∗ ) eiks              (5.41)
                                      1 + ck (h)
                               k=−∞                         k=−∞

является единственным решением уравнения (5.35).
     Из (5.41) находим неравенства
                   ( ∞ ¯                )1/2 ½
                     X ¯ ck (y) ¯¯2                    kyk    2
                                                                          ¾
   ∗       −1
kx k2 =kK yk2 =          ¯            ¯    6                                ,
                         ¯ 1 + ck (h) ¯        mink=0,±1,... |1 + ck (h)|
                               k=−∞

                  kx∗ k2 = kK −1 yk2 > kyk2 / max |1 + ck (h)|.
                                                       k=0,±1,...
Отсюда, в свою очередь, следуют неравенства
  kK −1 k2 6 max |1 + ck (h)|−1 ,                kKk2 6 max |1 + ck (h)|.          (5.42)
                  k=0,±1,...                                  k=0,±1,...

Заметим, что последнее неравенство легко выводится также из оче-
видной формулы
                     X∞
                2
           kKxk2 =       |ck (x)|2 · |1 + ck (h)|2 , x ∈ L2 .
                                k=−∞

Поскольку Pn2 = Pn , то для любого xn ∈ IHTn имеем Pn Hxn = Hxn .
Тогда приближенное уравнение (5.36) принимает очень простой вид
      Kn xn ≡ xn + Hxn = Pn y (xn , Pn y ∈ IHTn , Pn ∈ Pn(1) ).                    (5.43)

                                                84

Страницы