Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 80 стр.

Кроме того, в силу (5.180 ) для правых частей (5.1) и (5.3) имеем
                        ©           ª
  δn ≡ ky − Pn yk1;2 = O EnT (y 0 )∞ → 0, n → ∞, Pn ∈ Pn(2) . (5.21)
В силу (5.6), (5.20), (5.21) требуемое утверждение следует из теорем
6, 7 и 14 гл.I [25] или же из вышеприведенных теорем 1.1, 1.2 и 1.11.
    Замечание 5.2. Из теоремы 5.1 и ее следствия 1 следует сходи-
мость и устойчивость как общего проекционного метода (5.1) – (5.3)
           (2)
при Pn ∈ Pn , так и метода коллокации, обоснованного в разделе 1.4.
    5.3. Возмущенный проекционный метод. Теперь в качестве
приближенного уравнения для с.и.у. (5.1) возьмем уравнение вида
   An xn ≡ Gxn + Pn ρPnσ (hxn ) = Pn y (xn ∈ Xn , Pn y ∈ Yn , Pn ∈ Pn ),
                                                                    (5.22)
                    σ
где Rx ≡ ρhx , а Pn означает оператор Pn , примененный по перемен-
ной σ . Ясно, что уравнение (5.22) эквивалентно СЛАУ порядка
2n + 1 относительно коэффициентов полинома (5.2) или же относи-
тельно xn (sk ), k = −n, n, где sk – любая система из 2n + 1 попарно
неэквивалентных узлов.
     Рассматриваемый метод естественно называть "возмущенным про-
екционным методом"ввиду того, что, во-первых, он совпадает с про-
екционным методом решения "возмущенного"с.и.у. вида
              Ax ≡ Gx + ρPnσ (hx) = y (x ∈ X, y ∈ Y );                    (5.10 )
во-вторых, он получается из проекционного метода (5.5) путем возму-
щения регулярного ядра h(s, σ) по переменной σ.
     Пусть оператор Pn таков, что
             ρ[Pnσ (hxn )] = ρ[(Pnσ h)xn ],   x n ∈ Xn , P n ∈ P n        (5.23)
(как показано в разделе 1.5, для ряда конкретных операторов это усло-
вие выполняется). Тогда в силу (5.5) и (5.22) имеем
  kAn xn − An xn kY = kPn ρ[(h − Pnσ h)xn ]kY , xn ∈ Xn , Pn ∈ Pn .       (5.24)
А тогда при выполнении дополнительного условия h0s (s, σ) ∈
                                                      (1)
∈ L2 [0, 2π]2 с помощью теоремы 5.1 находим при Pn ∈ Pn :
        kAn xn − An xn kY 6 kPn kW 1 →W 1 · kρ(h − Pnσ h)xn kW 1 =
                                    2   2                         2
          n                                                o
       = O kh − Pnσ hkL [0,2π]2 + kh0s − Pnσ h0s kL [0,2π]2 · kxn kL2 =
                         2                         2
                       © Tσ                       ª
          = kxn k2 · O EN (h)2 + ENT σ (h0s )2 , xn ∈ Xn ;

                                      79