Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Действительно, с помощью результатов разделов 1.3 и 1.9 для любых
ϕ ∈ W
1
2
, P
n
∈ P
(1)
n
последовательно находим
kϕ − P
n
ϕk
1;2
= kϕ − P
n
ϕk
2
+ k
d
ds
(E − P
n
)(ϕ − Φ
n
ϕk
2
6
6 kE − P
n
k
2
E
T
n
(ϕ)
2
+ E
T
n
(ϕ
0
)
2
+ n kP
n
k
2
kϕ − Φ
n
ϕk
2
6
6 kP
n
k
2
[ (2 + n)/(n + 1) ] E
T
n
(ϕ
0
)
2
+ E
T
n
(ϕ
0
)
2
6
6 3 kP
n
k
2
E
T
n
(ϕ
0
)
2
= O
©
E
T
n
(ϕ
0
)
2
ª
, ϕ ∈ W
1
2
, P
n
∈ P
(1)
n
. (5.12
0
)
Из (5.12
0
), в частности, следует, что операторы P
n
: W
1
2
−→ W
1
2
огра-
ничены по норме в совокупности, точнее,
kP
n
k
W
1
2
→W
1
2
6 1 + 3 kP
n
k
L
2
→L
2
6 4 kP
n
k
2
= O (1). (5.13)
Поскольку P
n
→ E сильно в W
1
2
, а R : L
2
−→ W
1
2
– вполне
непрерывный оператор, то операторы P
n
R → R равномерно, т.е.
ε
n
6 ε
0
n
≡ kR − P
n
Rk → 0, n → ∞; R − P
n
R : L
2
−→ W
1
2
, P
n
∈ P
(1)
n
.
(5.14)
Кроме того, в силу (5.12) для правых частей (5.1) и (5.5)
δ
n
≡ ky − P
n
yk
1;2
= O {E
T
n
(y
0
)
2
} → 0, n → ∞, P
n
∈ P
(1)
n
. (5.15)
В силу соотношений (5.6), (5.14), (5.15) требуемое утверждение
следует из теорем 7, 6 и 14 гл.I [25] или же из вышеприведенных теорем
1.1, 1.2 и 1.11.
Замечание 5.1. Из теоремы 5.1 и ее следствия 1 следуют схо-
димость, устойчивость и оптимальность по порядку [25] как общего
проекционного метода (5.1) – (5.5) при P
n
∈ P
(1)
n
, так и м.Г., м.п. и
м.н.к., oбоснованных в §1.
Пусть теперь P
n
= P
(2)
n
(L
2
, IH
T
n
) есть множество линейных
проекционных операторов из L
2
[0, 2π] в IH
T
n
⊂ L
2
[0, 2π], причем
P
n
: L
2
−→ L
2
неограничены, а P
n
: C
2π
−→ L
2
ограничены по норме
в совокупности.
Теорема 5.2. Пусть P
n
∈ P
(2)
n
и y ∈ C
1
2π
, а регулярное ядро
h(s, σ) таково, что оператор R : L
2
−→ C
1
2π
вполне непрерывен. Ес-
ли уравнение (5.1) имеет единственное решение x
∗
∈ L
2
при любой
y ∈ W
1
2
, то при всех n, начиная с некоторого, уравнение (5.3) также
имеет единственное решение x
∗
n
∈ IH
T
n
⊂ L
2
при любых P
n
y ∈ IH
T
n
⊂
⊂ W
1
2
, P
n
∈ P
(2)
n
. Приближенные решения сходятся в среднем со ско-
ростью
kx
∗
− x
∗
n
k
2
= O
½
E
T
n
³
d
ds
Gx
∗
´
∞
¾
= O
©
E
T
n
(x
∗
)
∞
ª
. (5.16)
77
Действительно, с помощью результатов разделов 1.3 и 1.9 для любых
                  (1)
ϕ ∈ W21 , Pn ∈ Pn последовательно находим
                                            d
       kϕ − Pn ϕk1;2 = kϕ − Pn ϕk2 + k (E − Pn )(ϕ − Φn ϕk2 6
                                            ds
                          T         T   0
         6 kE − Pn k2 En (ϕ)2 + En (ϕ )2 + n kPn k2 kϕ − Φn ϕk2 6
              6 kPn k2 [ (2 + n)/(n + 1) ] EnT (ϕ0 )2 + EnT (ϕ0 )2 6
                               ©          ª
    6 3 kPn k2 EnT (ϕ0 )2 = O EnT (ϕ0 )2 , ϕ ∈ W21 , Pn ∈ Pn(1) .    (5.120 )
Из (5.120 ), в частности, следует, что операторы Pn : W21 −→ W21 огра-
ничены по норме в совокупности, точнее,
            kPn kW 1 →W 1 6 1 + 3 kPn kL2 →L2 6 4 kPn k2 = O (1).       (5.13)
                   2   2

    Поскольку Pn → E сильно в W21 , а R : L2 −→ W21 – вполне
непрерывный оператор, то операторы Pn R → R равномерно, т.е.
εn 6 ε0n ≡ kR − Pn Rk → 0, n → ∞;   R − Pn R : L2 −→ W21 , Pn ∈ Pn(1) .
                                                               (5.14)
Кроме того, в силу (5.12) для правых частей (5.1) и (5.5)
   δn ≡ ky − Pn yk1;2 = O {EnT (y 0 )2 } → 0, n → ∞,     Pn ∈ Pn(1) .   (5.15)
      В силу соотношений (5.6), (5.14), (5.15) требуемое утверждение
следует из теорем 7, 6 и 14 гл.I [25] или же из вышеприведенных теорем
1.1, 1.2 и 1.11.
     Замечание 5.1. Из теоремы 5.1 и ее следствия 1 следуют схо-
димость, устойчивость и оптимальность по порядку [25] как общего
                                             (1)
проекционного метода (5.1) – (5.5) при Pn ∈ Pn , так и м.Г., м.п. и
м.н.к., oбоснованных в §1.
                             (2)
     Пусть теперь Pn = Pn (L2 , IHTn ) есть множество линейных
проекционных операторов из L2 [0, 2π] в IHTn ⊂ L2 [0, 2π], причем
Pn : L2 −→ L2 неограничены, а Pn : C2π −→ L2 ограничены по норме
в совокупности.
                                          (2)   1
     Теорема 5.2. Пусть Pn ∈ Pn и y ∈ C2π         , а регулярное ядро
                                           1
h(s, σ) таково, что оператор R : L2 −→ C2π вполне непрерывен. Ес-
ли уравнение (5.1) имеет единственное решение x∗ ∈ L2 при любой
y ∈ W21 , то при всех n, начиная с некоторого, уравнение (5.3) также
имеет единственное решение x∗n ∈ IHTn ⊂ L2 при любых Pn y ∈ IHTn ⊂
               (2)
⊂ W21 , Pn ∈ Pn . Приближенные решения сходятся в среднем со ско-
ростью
                       ½ ³          ´ ¾
                              d              ©         ª
       kx∗ − x∗n k2 = O EnT     Gx∗     = O EnT (x∗ )∞ .        (5.16)
                             ds      ∞

                                     77

Страницы