Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 75 стр.

для с.и.у. [79, 80]
     Z+1           Z+1
 1      ϕ(τ ) dτ 1
                +    g(t, τ )ϕ(τ ) dτ = f (t), −1 6 t 6 1, 0 < γ < 1, (4.24)
 π      |τ − t|γ π
     −1                 −1

где f (t) и g(t, τ ) – известные непрерывные функции в областях соот-
ветственно [−1, 1] и [−1, 1]2 , а ϕ(t) – искомая функция.


                §5. Некоторые обобщения и дополнения
    5.1. Общий проекционный метод для общего уравнения.
В §§1, 2 и 4 были рассмотрены общие проекционные методы решения
конкретных слабо с.и.у. I -рода и доказана их сходимость. Полученные
при этом результаты допускают существенное обобщение.
    Рассмотрим с.и.у. I -рода вида
                        Ax ≡ Gx + Rx = y (x ∈ X, y ∈ Y ),                            (5.1)
                 Z2π                                        Z2π
           1                                    1
     Gx ≡              g(|s − σ|)x(σ) dσ, Rx ≡                    h(s, σ)x(σ) dσ ≡ ρhx.
          2π                                   2π
                 0                                          0
                                                            2
Здесь g(s) ∈ L1 [0, 2π], h(s, σ) ∈ C[0, 2π] , y(s) ∈ Y – данные 2π-
периодические функции, а x(s) – искомая функция, которая разыс-
кивается в некотором нормированном пространстве 2π-периодических
функций X. Предположим, что оператор A : X −→ Y непрерывно
обратим, где Y – некоторое нормированное пространство, в частности,
Y ≡ G(X).
    Приближенное решение с.и.у. (5.1) будем искать в виде
                                        n
                                        X
                             xn (s) =          αk eiks ,   αk = α−k .                (5.2)
                                        k=−n

Этот полином будем определять как точное решение операторного
уравнения (см., напр., [19, 22, 23, 25])
          An xn ≡ Pn Axn = Pn y (xn ∈ IHTn ⊂ X, Pn y ∈ IHTn ⊂ Y ),                   (5.3)
где Pn ∈ Pn ⊂ L(L2 , IHTn ). Очевидно, что уравнение (5.3) эквивалент-
но СЛАУ порядка 2n + 1 относительно коэффициентов полинома (5.2)
или относительно значений этого полинома в (2n + 1)– попарно неэк-
вивалентных точках.


                                                 74