Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 73 стр.

где εn определены в (4.16). Отсюда следует, что чем лучше ядро h(s, σ),
то тем меньше номер n0 при каждом фиксированном γ.
     Докажем следствие. Если h(s, σ) = h(s − σ) , то в силу соотноше-
ний (4.1), (4.11) приближенное уравнение (4.8) принимает вид
     Cn xn ≡ U xn + V xn = Cxn = Pn y (xn ∈ Xn , Pn y ∈ Yn ).            (4.80 )
Ясно, что в силу условия б) теоремы уравнение (4.80 ) однозначно раз-
решимо при любых n = 0, 1, . . ., а в силу (4.16) для решений уравнений
(4.1) и (4.80 ) справедливы оценки
    kx∗ − x∗n k∞ 6 kC−1 k · ky − Pn yk1−γ = O (n−r−α+1−γ ln n).          (4.17)

     Теорема 4.2. Пусть выполнены условия: а) h(s, σ) = h(s − σ),
где h(s) – четная функция из C2π ; б) положительный оператор (в
частности, выполнено условие ck (ρ) + ck (h) > 0, 1 + |k| ∈ N); в)
с.и.у. (4.1) имеет решение x∗ (s) ∈ L2 при данной правой части y(s) ∈
L2 . Тогда приближенное уравнение (4.8) имеет единственное реше-
ние x∗n (s) при любой правой части Pn y ∈ IHTn и любых n = 0, 1, . . . , а
невязка rn ≡ y − Cx∗n сходится к нулю со скоростью
                    ©      ª
                O EnT (y)2         при Pn = Φn и Πn ;
      krn k2 =      © T     ª                                   (4.18)
               
                  O En (y)∞        при Pn = Ln .

     Доказательство. Из условия а) следует, что C : L2 −→ L2
является симметричным оператором. Если же ck (ρ) + ck (h) > 0,
1 + |k| ∈ N, то, как и при доказательстве леммы 4.1, находим
               ∞
               X
  (Cx, x)2 =       [ck (ρ) + ck (h)]|ck (x)|2 > 0, x ∈ L2 , x(s) 6≡ 0,   (4.19)
               k=−∞

т.е. оператор C положителен или по предположению, или по условию
на ядра ρ(s) и h(s). С другой стороны, в силу (4.1), (4.11), (4.8) имеем
Cn = C на Xn . Так как Cn – симметричный положительный оператор
на X = L2 , то на Xn ⊂ L2 имеем
                 (Cn xn , xn )2 > γn2 (xn , xn )2 ,   x n ∈ Xn ,         (4.20)
где γn2 – положительное число, не зависящее от xn ∈ Xn , но зави-
сящее, вообще говоря, от n (в частности,при h(σ) = α ln | sin(σ/2)|,
∀ α ∈ IR, имеем γn2 ³ n−1+γ , 0 < γ < 1). Из (4.20) следует, что однород-
ное уравнение Cn xn = 0 имеет лишь тривиальное решение. А тогда

                                        72