Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 70 стр.

                §4. Уравнения с полярными ядрами
    4.1. Вспомогательные результаты. В этом параграфе рас-
сматриваются вопросы приближенного решения с.и.у. вида
                  Cx ≡ U x + V x = y (x ∈ X, y ∈ Y ),                         (4.1)
где
            Z2π ¯          ¯γ                         Z2π
        1       ¯    σ − s ¯                     1
  Ux =          ¯ctg       ¯ x(σ) dσ,       Vx=             h(s, σ)x(σ) dσ,   (4.2)
       2π       ¯      2 ¯                      2π
            0                                         0
а 0 < γ = const < 1, y(s) и h(s, σ) – известные непрерывные 2π-
периодические функции, x(s) – искомая функция.
      Положим X = M [0, 2π] с обычной sup-нормой и Y = H 1−γ [0, 2π]
с нормой, введенной в §1. Оператор C будем рассматривать как ли-
нейный оператор из X в Y . Тогда с.и.у. (4.1) можно трактовать как
операторное уравнение, приводящееся к уравнению II рода.
      С.и.у. (4.1) удобно рассматривать также в пространствах
Lp [0, 2π]; в этом случае удается получить также ряд интересных ре-
зультатов. Здесь мы приведем лишь некоторые из них, аналогичные
полученным в §2.
    Лемма 4.1.Оператор U : Lp [0, 2π] −→ Lp [0, 2π] (1 6 p 6 ∞,
L∞ ≡ C2π ) является вполне непрерывным, а при p = 2 оператор U
является также симметричным и положительным.
    Следствие. В условиях леммы на конечномерном подпростран-
стве Xn ⊂ L2 оператор U положительно определен.
      Доказательство. Полная непрерывность оператора U в Lp , 1 6
6 p 6 ∞, следует из соответствующих результатов С.Г.Михлина о
свойствах слабо сингулярных интегральных операторов (см., напр.,
[63], а также [38]). Далее, при p = 2 для любого x ∈ X имеем
                             ∞
                             X
                     x(s) =      ck (x)eiks , c−k = ck ,     (4.3)
                               k=−∞

причем ряд (4.3) сходится в среднем. Тогда
                    ∞
                    X                          ¯   σ ¯¯γ
                                     iks       ¯
            Ux =        ck (x)ck (ρ)e , ρ(σ) = ¯ctg ¯ ,                       (4.4)
                                                   2
                        k=−∞

                    Z2π                      Zπ/2
                1                        2
      ck (ρ) =            ρ(σ)e−ikσ dσ =        (ctg σ)γ cos 2kσ dσ.          (4.5)
               2π                        π
                    0                        0

                                       69