Прямые и проекционные методы решения слабосингулярных интегральных уравнений I рода. Габдулхаев Б.Г. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Следствие. Если выполнены условия
1)
f(t) ∈ W
r+1
H
α
L
2q
, g(t, τ) ∈ W
r+1
H
α
L
2q
(r > 0, 0 < α 6 1) (3.23)
по переменной t равномерно относительно τ, то метод (3.1), (3.11), (3.19)
– (3.21) сходится в пространстве L
2p
[−1, 1] со скоростью
kϕ − ϕ
n
k
2p
= O
¡
n
−r−α
¢
, r + α > 0. (3.24)
Оценка
(3
.
24)
остается в силе, если
f(t) ∈ W
r+1
H
α
и g(t, τ) ∈ W
r+1
H
α
(r > 0, 0 < α 6 1) (3.25)
по переменной t равномерно относительно τ.
3.4. Метод коллокации. Пусть коэффициенты приближенного
решения (3.11) определяются по м.к. из условий
r
n
(t
j
) = 0, j = 0, n,
где {t
j
} – некоторая система из (n + 1) – узлов на сегменте [−1, 1].
Тогда в силу (3.13),(3.14) получаем СЛАУ
n
X
i=0
α
i
{γ
i
T
i
(t
j
) + R(T
i
; t
j
)} = f(t
j
), j = 0, n. (3.26)
Теорема 3.4. Пусть выполнены условия: 1) f
0
(t) ∈ C[−1, 1], а
ядро g(t, τ) таково, что оператор R : L
2p
−→ C
1
[−1, 1] вполне непре-
рывен (в частности, g
0
t
(t, τ) ∈ C[−1, 1]
2
); 2) узлы t
j
определены по
любой из формул
a) t
j
= cos
2j + 1
2n + 2
π; б) t
j
= cos
j + 1
n + 2
π; в) t
j
= cos
j
n
π, j = 0, n;
(3.27)
3) с.и.у. (3.1) однозначно разрешимо в L
2p
[−1, 1] при любой правой ча-
сти из W
1
2q
[−1, 1]. Тогда при всех n, начиная с некоторого, СЛАУ (3.26)
имеет единственное решение. Приближенные решения (3.11) схо-
дятся в пространстве L
2p
[−1, 1] к точному решению ϕ(t) с.и.у. (3.1)
со скоростью
kϕ − ϕ
n
k
2p
= O {E
n
(ϕ)
∞
}, (3.28)
где E
n
(ϕ)
∞
– наилучшее равномерное на [−1, 1] приближение функ-
ции ϕ(t) алгебраическими многочленами степени не выше n.
1)
Заметим, что W
r+1
H
α
L
2q
= {ϕ ∈ C[−1, 1] : ω(ϕ
(r+1)
; δ)
2q
= O (δ
α
), 0 < δ 6
6 2}, где ω(ψ; δ)
2q
– модуль непрерывности ψ(t) в пространстве L
2q
.
60
                                                          1)
       Следствие. Если выполнены условия
   f (t) ∈ W r+1 H α L2q , g(t, τ ) ∈ W r+1 H α L2q (r > 0, 0 < α 6 1)        (3.23)
по переменной t равномерно относительно τ, то метод (3.1), (3.11), (3.19)
– (3.21) сходится в пространстве L2p [−1, 1] со скоростью
                               ¡     ¢
                kϕ − ϕn k2p = O n−r−α , r + α > 0.           (3.24)
Оценка (3.24) остается в силе, если
  f (t) ∈ W r+1 H α     и     g(t, τ ) ∈ W r+1 H α       (r > 0,   0 < α 6 1) (3.25)
по переменной t равномерно относительно τ.
    3.4. Метод коллокации. Пусть коэффициенты приближенного
решения (3.11) определяются по м.к. из условий
                                rn (tj ) = 0,     j = 0, n,
где {tj } – некоторая система из (n + 1) – узлов на сегменте [−1, 1].
Тогда в силу (3.13),(3.14) получаем СЛАУ
               n
               X
                     αi {γi Ti (tj ) + R(Ti ; tj )} = f (tj ),   j = 0, n.    (3.26)
               i=0


     Теорема 3.4. Пусть выполнены условия: 1) f 0 (t) ∈ C[−1, 1], а
ядро g(t, τ ) таково, что оператор R : L2p −→ C 1 [−1, 1] вполне непре-
рывен (в частности, gt0 (t, τ ) ∈ C[−1, 1]2 ); 2) узлы tj определены по
любой из формул
               2j + 1                           j+1        j
 a) tj = cos          π;      б) tj = cos           π;
                                                в) tj = cos π, j = 0, n;
               2n + 2                           n+2        n
                                                                  (3.27)
3) с.и.у. (3.1) однозначно разрешимо в L2p [−1, 1] при любой правой ча-
           1
сти из W2q   [−1, 1]. Тогда при всех n, начиная с некоторого, СЛАУ (3.26)
имеет единственное решение. Приближенные решения (3.11) схо-
дятся в пространстве L2p [−1, 1] к точному решению ϕ(t) с.и.у. (3.1)
со скоростью
                         kϕ − ϕn k2p = O {En (ϕ)∞ } ,             (3.28)
где En (ϕ)∞ – наилучшее равномерное на [−1, 1] приближение функ-
ции ϕ(t) алгебраическими многочленами степени не выше n.
  1)Заметим, что W r+1 H α L2q = {ϕ ∈ C[−1, 1] : ω(ϕ(r+1) ; δ)2q = O (δ α ), 0 < δ 6
6 2}, где ω(ψ; δ)2q – модуль непрерывности ψ(t) в пространстве L2q .


                                             60

Страницы